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福井大医数学'08年[2]

福井大医数学'08[2]

座標平面において、原点Oを中心とする半径1の円C上に点Pをとり、PにおけるCの接線lと直線の交点をQとおく。ただし、とする。l上の点Rを満たすとき、以下の問いに答えよ。
(1) Rの座標をq を用いて表せ。
(2) q の範囲を動くとき、線分PRの長さの最大値とそのときのq の値を求めよ。
(3) q の範囲を動くときのRの軌跡を求め、その概形を描け。

解答 (1)で求めるRの座標の形がよくないので、(3)が少し悩むかも知れません。(2)の結果から軌跡の概形がつかめるので、そこから着想することになります。

(1) 原点Oを中心とする半径1の円C
PにおけるCの接線l ・・・①
①においてとすると、
ではより、
よって、
Qの座標は
Rの座標をとすると、Rは接線l上の点なので、①をみたします。よって、
 ・・・②
より、
 (内積を参照)

 ・・・③
②に代入して、


③より、
よって、Rの座標は ......[]

(2)
 (内積を参照)


とおくと、においては()
とすると、

0





0







増減表より(関数の増減を参照)のとき、最大値: ......[]
[
別解] 円C上の点 ()に対して、とおくと、を通る直線 (傾き:)が円Cの部分とと共有点を有する条件は、 (円と直線の位置関係を参照)。これよりの最大値を求めることができます(右図のような図を描いて考えてください。図からを最大とするq の値:もわかります)

(3) (1)より、Rの座標をとして、
 () ・・・④
となるのですが、よく見る媒介変数表示、というわけではないので、どういう曲線になるのか、これだけでは見当がつきません。
のとき、です。
のとき、です。

Ry座標は、(2)に出てくる2倍になっているので、と同じ変化をします。のとき、()
ここが、Rの軌跡でy座標が最大となるところです。図を描いてみて楕円かも知れないな、と、感じたら、いきなり、 ((2)で調べていますが)を調べるのではなく、を先に考えるべきです。
④第
1式より、
④第
2式より、
より、
分母を払って、


これで軌跡が楕円だとわかります。
④より、のとき、なので、求める
軌跡は、
楕円:の部分
......[]。図示すると右図太線部分(白マルを除く)


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/10/19(日) 08:04:51|
  2. '08年入試(数学)
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