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岡山大理系数学'08年[3]

岡山大理系数学'08[3]

a0以上の実数、nを正の整数とするとき、次の問いに答えよ。
(1)
が成り立つことを示せ。
(2) が成り立つことを示せ。
(3) が成り立つことを示せ。

解答 誘導がなければ難問ですが、親切な誘導がついているので、誘導通りにやれば大したことはありません。
(2)(3)より、のとき、なので、 (の場合については、極限の公式を参照)になると言いたいのだろうと思います。
なお、指数関数、積分を未履修の方は、
指数関数不定積分定積分不定積分の公式を参照してください。

(1)  (部分積分法を参照)


 ・・・①
よって、与式は示されました。

(2) より、,よって、
 ・・・②
①より、
 (中カッコ内をでくくります)

 ・・・③
右辺の被積分関数は、において、より、
よって、
従って③より、 ・・・④
②,④より、

(3) 証明すべき式の左辺は③の左辺に出てきます。③の右辺が以下であることを言えばよいわけです。③の右辺に既にがついているので、積分が以下であればよい、ということになります。 なので、被積分関数の残りの部分について、 (定数以下という形を作る)を示したいのですが、(2)で、が示されているので、となるので解決します。結局、答案の流れは以下のようにすればよいでしょう。

において、(2)より、 なので、
両辺に ()をかけて、
よって、③右辺の被積分関数について、

両辺にをかければ、③より、
よって、与不等式が示せました。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/10/13(月) 11:11:12|
  2. '08年入試(数学)
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