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長崎大工数学'08年[3]

長崎大工数学'08[3]

である相似な直角三角形 ()が、次のような規則で座標平面上に並べられている。
規則1) 三角形どうしが、辺以外で重なることはない。
規則2) 頂点は座標平面上の原点と一致し、は点と一致している。また、は第1象限にある。
規則3) mを自然数とするとき、三角形と三角形において、と一致し、と一致している。
さらに、三角形と三角形において、頂点と一致し、と一致している。
次の問いに答えよ。
(1) の座標を、q を用いて表せ。
(2) ()の座標を、q を用いて表せ。
(3) およびを求めよ。

解答 ややこしくできている問題なので、丁寧に規則性を探していきます。規則1)3)に沿って三角形,三角形,三角形,三角形を図示していくと、右図のようになります。とりあえず、(1)の座標を求めますが、(2)ではを聞いているので、がどんな規則に並ぶのかを考えることになります。
規則
3)より、三角形と三角形において、
三角形と三角形において、
()
三角形と三角形において、
()
これより、
従って錯角が等しく、 //
同様に、 //
などとなっていくでしょう。また、
つまり、となっています。同様にすれば、
などとなっていくでしょう。
規則性がある程度見えてきたら、答案では、規則性を示すところだけを取り上げるようにします。
,・・・ と調べて行ってもよいのですが、,・・・ とする方が扱いやすいので、規則1)3)に沿って、三角形の方へさかのぼることにします。また、三角形~三角形を考えます。答案をまとめるときには、ベクトルを使うのがよいと思います。

(1) 右上の図より、 ()
は、x軸方向から正方向に回った方向を向くベクトルなので、
の座標は、 ......[]

(2) 題意は、 として直角三角形を定義しているのですが、規則1)3)を用いて、直角三角形,直角三角形,・・・ を考えると、規則3)として、
()
となることがわかります。
これより、は原点Oに一致し、に一致します。
 ・・・①
と点の関係を調べるために、右図(三角形~三角形)を考えます。規則3)より、m0以上の整数として、
()()()
となっています。
従って錯角が等しく、 //  ・・・②
これと①より、x軸に平行です。また、

 ・・・③
より、
これと②より、
 ・・・④
 ( )
これを③に代入すると、より、
x軸に平行なので、x軸から正方向に回った方向を向くベクトルであって、
 (とすれば(1)の解答です) ・・・⑤
④,⑤より、


 (等比数列の和の公式を使用)
 (倍角の公式を使用)

として、 ......[]

(3) (2)の結果において、とすると、より、なので、 ......[] (等比数列の極限を参照)


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/10/05(日) 19:01:33|
  2. '08年入試(数学)
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