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群馬大医学部数学'08年[5]

群馬大医数学'08[5]

次の問いに答えよ。
(1) aを実数とし、とおく。このとき、 を証明せよ。
(2) を用いて、を示せ。

解答 (1) 証明すべき式の左辺を、の相加平均と見ても厳しいものがありそうです。そこで、証明すべき式を変形します。
さらに、1つを移項して、
こうした変形はよく行われるものです。
さて、ここで、を代入すると、
となって、左辺と右辺が同じ形になります。題意は、とするとき、
 ・・・①
を証明せよと言っていることがわかります。
における接線で、
であることを思い浮かべましょう。
でかつとなるようなa,例えば、を満たすaをもってきます。なので、単調増加であることを示せれば、①が言えます。
aをすべての実数で考えるとの符号がコロコロ変わるので面倒です。そこで、の場合とそれ以外の場合を分けて考えることにします。
が大きくなると、 ()との差が大きくなって、不等式を示しやすくなるはずです。

(i) のとき、より、
また、
よって、 ・・・②
(ii) において、関数 を考えます。
より、は、において単調増加な関数です。
よって、

従って、であれば、です。
が単調増加であることから、

つまり、
 (等号は、,つまり、のとき)
よって、のとき、より、
 ・・・③
が成立します。
のとき、として、,③より、
より、
よって、のとき、
 (等号はのとき)

(i)(ii)より、すべての実数aについて、とおくとき、
 (等号はのとき)
(証明終)

(2) がある数値より大きいことを言いたいので、(1)の不等式の左辺にが出てくるようにして、
つまり、 ()としてみます。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/10/03(金) 09:43:46|
  2. '08年入試(数学)
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