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早大教育数学'08年[4]

早大教育数学'08[4]

座標平面上で次のような変換fを考える。
f:原点を中心として正の向きに角q だけ回転し、y軸について対称移動をし、y軸の正方向に1だけ平行移動する。
に変換fn回繰り返し行って得られる点をと表す。次の問いに答えよ。
(1) を用いて表せ。
(2) ならば、点の列,・・・,,・・・ は、ある直線上に等しい間隔で並ぶことを示せ。
(3) とする。すべての点()1つの直線上に並ぶようなq の値を求めよ。ただし、とする。

解答 ベクトルを、21列の行列としてと書くことにします。
この問題は、論理的にややこしいですが、実際の作業は計算ばかりです。短気を起こさずに忍耐強く取り組んでください。
(1)は、この問題では、たまたまになるので話が簡単にすみますが、ふつうは2項間漸化式のようにやっていくことになるでしょう。
なお、
1次変換を参照してください。

(1) まず、点に変換fを施すとどうなるか、ということを調べます。
を原点を中心として正の向きに角q だけ回転すると、回転を表す行列として、
 (1次変換を参照)
に来ます。これをy軸について対称移動すると、x座標の符号が変わり、対称移動を表す行列をとして、
に来ます。さらに、y軸正方向に1だけ平行移動すると、y座標に1を加えて、
に来ます。
に対して変換fを行ってに来るとすると、
 ・・・①
ここで、と置き換えて、2項間漸化式のようにできないか、というアイデアも浮かびますが、となったときに、となり、が存在しないので、うまく行きません(逆行列が存在するような問題なら、行列の累乗を求めることにより、2項間漸化式のように解くことができます)
ここでは、①を繰り返し用います。

・・・・・・
 ・・・②
ところで、
より、
(a) mが正の奇数のとき、
(b) mが正の偶数のとき、
そこで、nが奇数か偶数かで場合分けして、
(i) nが奇数のとき、の中に、奇数、偶数ともに、個ずつあるので、②より、
......[]
(ii) nが偶数のとき、の中に、奇数が個、偶数が個あるので、②より、

......[]

(2) (1)(ii)の結果でとして、
より、
よって、(1)(ii)の結果でとして、
 ・・・③
 ・・・④
③×-④×として、nを消去すると、
これは、点が、直線:
 ・・・⑤
の上にあることを意味します。また、
より、点の列,・・・,,・・・ は、直線⑤上に、等間隔:
 (半角の公式を参照)
で並びます。

(3) (2)において、 または ,つまり、においてはのとき、 ()がどうなるかを調べます。(1)(ii)を用いて、
のとき、 となり、は、直線上に並びます(このときも、⑤は、 となるので、(2)が成り立っています)
のとき、で、はすべてとなります。⑤は直線を表さなくなります。

だとすると、⑤は、
 ・・・⑥
すべての点 ()1つの直線上に並ぶので、少なくとも、は、⑥上にあります。(1)(i)の結果を用いて、
これを、⑥のxyに代入すると、
整理して、

においては、より、
が条件をみたすかどうか、確認します。
(i) のとき、⑥は、 ・・・⑦
nが偶数のときは、(2)より、が⑦上に位置することはわかっています。
nが奇数のとき、(1)(i)より、
これを⑦のxyに代入すると成り立つので、は⑦上の点です。
従って、すべての点 ()1つの直線上に並びます。
(ii) のとき、⑥が直線を表さなくなります(実はは、点列が⑥上に並ぶ「必要条件」ではない)が、
nが偶数のとき、上記より、はすべてです。
nが奇数のとき、(1)(i)より、
となり、すべての点 ()が、直線上に並ぶので、条件に適します。
よって、 ......[]
注.本当は、“ かつ ”の場合、つまり、の場合は、別に検討するべきですが、あたかも必要条件であるかのように出てきてしまうので、条件に適することを確認しておけばOKです。試験場でまとめきれるか、ということはありますが、論理的にきちんと整合した解答が知りたけば、旺文社入試問題正解を見て頂くとよいと思います。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/09/29(月) 13:26:14|
  2. '08年入試(数学)
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