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阪大理系数学'08年前期[3]

阪大理系数学'08年前期[3]

N2以上の自然数とする。
(1) 関数の範囲で考える。このとき、曲線は上に凸であり、関数は極大値を1つだけとる。このことを示せ。
(2) 自然数の列
 ()
で定める。のうちで最大の値をMとし、となるnの個数をkとする。このときであることを示せ。
(3) (2)となるのは、N2のときだけであることを示せ。

解答 (1)(2)の流れから(3)で、頭が切り換えられるか、というところが勝負でしょう。

(1)  (微分の公式積の微分法を参照)
 ()
これより、において、曲線は上に凸です(関数の凹凸を参照)
また、導関数は単調減少です(関数の増減を参照)
 ( )
従って、xの方程式は、の範囲にただ1つの解を持ちます。この解をa とします。より増減表は以下の通り。
x1N
0
0極大0

増減表より、関数の範囲に極大値を1つだけとります。

(2) mをみたす整数として、
です。関数は単調増加な関数なので、のうちでMが最大値のとき、,・・・,のうちでが最大値になります。
(1)aが整数であれば、であり、
,または、となる整数mについて、
よって、です。
(1)aが整数でなければ、(1)の増減表より、は、において単調増加、において単調減少なので、をみたす整数mについて、
となるか、
となるか、
(つまり、)
となるか、このいずれかが起こります。いずれにしても、
をみたす整数が存在するとき、
をみたす整数が存在するとき、
以上より、です。

(3) のとき、より、です。
のとき、(1)(2)の流れで、関数の挙動を調べても、kの値に関する情報は得られません。そこで、整数の問題として考え、背理法を使うことにします。
のとき、をみたす整数mについて、,つまり、
 ・・・①
が成り立つと仮定します。この両辺は、ともに整数の整数乗であって整数です。
また、mは互いに素(最大公約数が1)であるのに、①は、m2以上の整数の倍数であることを意味していて、不合理です。
よって、とした仮定は誤りです。即ち、(2)となるのは、N2のときだけです。

注.もし、mが互いに素でなく、2以上の整数をpとして、pを公約数を持つのであれば、をみたす整数bcが存在します。

となり、12以上整数pを約数にもつことになって不合理です。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/09/25(木) 12:12:48|
  2. '08年入試(数学)
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