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早大理工数学'05年[5]

早大理工数学'05[5]

媒介変数tにより
と表されるxy平面上の曲線Cについて以下の問に答えよ。
(1) 曲線Cと座標軸が接する点の座標を求めよ。
(2) 曲線Cx軸,y軸で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
(3) (2)で求めた体積をVとするとき、Vを小さい順に並べよ。ただし、およびは既知とする。

解答 (1) のとき、 ・・・①
のとき、 ・・・②

のとき、 (微分の公式を参照)
のとき、
増減表は以下の通り。また曲線Cのグラフは右図。
t()01()
0×
x()02()
t()01()
×0
y()20()

増減表より、となるのは、のときのみで、このとき、 (媒介変数表示された関数の微分法を参照)
より、曲線Cにおいてy軸と接します。
となるのは、のみで、このとき、より、曲線Cにおいてx軸と接します。
よって、座標軸との接点は、 ......[]
なお、増減表より、のときのとき

(2) グラフより、回転体の体積Vは、
・・・③
1項は②,第2項は①により置換積分します。
1()では、xのときt
2()では、xのときt

③の第1項は、
とおくと、tのときs
さらに、stに戻して、

③の第2項は、


被積分関数は、とおくと、





......[]

(3) より、
まず、を比較します。
より、です。
次に、Vを比較します。

より、


Vを比較します。
より、

よって、 ......[]

うなってしまう問題ですが、私はこういう入試問題には賛成できません。
恐らく、正答率は限りなく
0に近く、正答した受験生は他の問題がほとんできていないでしょう。
合格者の大半がこの問題を途中で捨てていると思いますが、捨て問題にせよ、ということで、こういう問題を出題しているのなら考えものです。
忍耐力などを見たいのなら、場合分けの複雑な問題などを工夫すべきだと考えます。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/08/13(水) 19:49:27|
  2. 早大理工数学'05年
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