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京大理系数学'06年前期[5](再掲)

京大理系数学'06年前期[5]

に対し、辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを、辺CA上に点Rを、頂点とは異なるようにとる。この3点がそれぞれの辺上を動くとき、この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ。

解答 平面ベクトルの問題です。ベクトルの内分・外分平面ベクトルの応用を参照してください。三角形の重心をGとして、2つのベクトルを使って表すことにより重心の存在範囲を考えます。
正答を求めるだけなら簡単ですが、きちんと論証するのはなかなか難しい問題です。

Pは辺AB上の頂点とは異なる点だから、として、
 ・・・①
とおくことができます。
Qは辺BC 上の頂点とは異なる点だから、として、
 ・・・②
とおくことができます。
Rは辺CA上の頂点とは異なる点だから、として、
 ・・・③
とおくことができます。
三角形PQRの重心をGとして、

 ・・・④
とおくと、
 ・・・⑤

さて、klmについて、
 ・・・⑥
という条件がありますが、④の中に登場する、については、
 ・・・⑦
という制限がつきます。
しかし、⑦を満たすようなklmをとって、例えば、としても⑦は満たされますが、
とすると、前者より,後者よりとなってしまって、⑥を満たすようなklmをとることができません(題意を満たす三角形PQRを作ることができない)
つまり、⑦だけでは、条件不足なのです。そこで、
⑦に条件を加えて、この条件が満たされれば、⑥を満たすklmの組が必ず存在するようにします
④で、
を考えるとlが消えてが出てくるので、の取り得る値を考え、⑦に、
という条件を加え、
 ・・・⑧
とします。
⑧を満たすklmをとると、第2式と、第3式から、
となりますが、mを満たすどのような値にしても、⑧の第1式と⑥をすべて満たすような、klをとることができます(⑧の条件を満たすklmの組が1組でも存在すれば題意を満たす三角形PQRを作ることができます)

より、
より、
より、

右図で、辺AB3等分する点をA側から、DHとします。
BC3等分する点をB側から、EIとします。
CA3等分する点をC側から、FJとします。

⑤式で定める点
Gについて、
を満たすのは、より、直線AC上の点。
を満たすのは、より、直線HE上の点。
よって、を満たすのは、直線ACと直線HEに挟まれた部分(両直線上を除く)
を満たすのは、直線AB上の点。
を満たすのは、直線FI上の点。
よって、
を満たすのは、直線ABと直線FIに挟まれた部分(両直線上を除く)
を満たすのは、直線BC上の点。
を満たすのは、直線DI上の点。
よって、
を満たすのは、直線BCと直線DIに挟まれた部分(両直線上を除く)

以上より、求める範囲は、右図斜線部の六角形
DHEIFJの内部(境界線は含まない) ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/07/20(日) 18:34:30|
  2. 京大数学'06年
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