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東工大数学'06年前期[4](再掲)

東工大数学'06年前期[4] 東工大数学'06年前期[4]

空間内の四面体ABCDを考える。辺ABBCCDDAの中点を、それぞれKLMNとする。
(1) を示せ。ここにはベクトルの長さを表す。
(2) 四面体ABCDのすべての面が互いに合同であるとする。このときを示せ。
(3) ACの中点をPとし、とする。(2)の仮定のもとで、四面体PKLNの体積を求めよ。

解答 最近、東大、京大などで出題されている等面四面体に関する問題で、直方体ABCD-EFGHの各面の対角線と頂点とでできる四面体のうち、ABDEBCDGEFGBEGHD4個を取り除くと、等面四面体ができる、という知識を使えばすぐにできるのですが、ここでは、前提知識を想定しないでやってみます。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1)





(2) 各面が正三角形、二等辺三角形であることは想定されていないので、各面とも辺の長さが異なるものとして、三角形ABCにおいて、 (abcは互いに異なる正数)とします。この場合でも、題意は成立しなければなりません。
となるために、なので、 ・・・① となるか、または、 ・・・② となるかのいずれか2通りの可能性しかありません。
となるために、なので、 ・・・③ となるか、または、 ・・・④ となるかのいずれか2通りの可能性しかありません。
より、①かつ③はあり得ません。
より、②かつ③はあり得ません。
より、②かつ④はあり得ません。
よって、①かつ④の場合に絞られますが、このとき、となります。
このとき、より、四面体ABCDのすべての面が互いに合同になります。
このとき、

(3) (2)の仮定のもとで、(1)より、
よって、です。
同様に、
よって、KL // NM,また、 ・・・⑤
これより、四角形KLMNは、平行四辺形ですが、より、平行四辺形の対角線が直交するので、四角形KLMNはひし形です。
MKLNの交点をOとすると、OMKLNの中点であり、また、
全く同様にして、BDの中点をQとすると、四角形PKQMはひし形で、MKの中点はOなので、PQの中点もOとなり、
(MKLNPQ1Oで互いに垂直に交わります)
⑤と同様にして、
三平方の定理より、
 ・・・⑥
 ・・・⑦
 ・・・⑧
(⑥+⑦+⑧)÷2より、
 ・・・⑨
⑨-⑧より、
⑨-⑦より、
⑨-⑥より、
四面体PKLNの底辺を三角形KLNと見ると、この面積は三角形OKLの面積2個分で、四面体の高さはOP
よっても四面体PKLNの体積は、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/05/22(木) 09:29:01|
  2. 東工大数学'06年
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