FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

東工大数学'06年前期[1](再掲)

東工大数学'06年前期[1]

以下の問に答えよ。
(1) 自然数nに対しを求めよ。
(2) 次の不等式を示せ。
 ()
(3) aを正の数とし、aを超えない最大の整数をで表す。が奇数のとき次の不等式が成り立つことを示せ。

解答 (1)(2)は教科書の例題レベルの問題ですが、(3)はガウス記号まで登場するので複雑そうに見えます。実は、(3)も、③式を利用して積分区間を分けてしまえば、(1)(2)が利用できる形になります。結局、n:奇数のとき、というだけのことなのですが、この奇数nと書いて、などとすると、難問に見えてしまうのが不思議です。なお、三角関数絶対値を含む積分を参照してください。

(1) は周期p の周期関数(三角関数のグラフを参照)で、ゆえ(の積分は、不定積分の公式を参照)
......[]

(2) 関数のグラフは、において上に凸(関数の凹凸を参照)なので、原点を結ぶ直線:から上側にあります。
従って、において、
とおくと、において、
 ・・・①
また、より、
 (定積分と不等式を参照)
両辺からsを引いて、
 ・・・②
①,②より、

(3) 与不等式中の積分について、とおくと、tのとき、x
 (置換積分を参照)
とおくと、 () ・・・③
③を用いて、定積分Iの積分区間を分けると、
 ・・・④
④式のカッコ内の第1項の積分は、(1)において、と考えると、
が奇数であるとき、 ()となるxについて、とおくと、であって、
より、
④式のカッコ内の第2項の積分は、
(2)より、
よって④より、 ・・・⑤
左辺は、③より、
⑤式各辺から1を引いて、
 ・・・⑥
⑥式の右辺は、③を用いて、



TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/05/21(水) 14:13:34|
  2. 東工大数学'06年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<東工大数学'02年前期[2](再掲) | ホーム | 東大物理'02年前期[3]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/462-f42ec01d
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。