FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

東大理系数学'02年前期[3]

東大理系数学'02年前期[3]

xyz空間内の原点Oを中心とし、点Aを通る球面をSとする。Sの外側にある点Pに対し、OPを直径とする球面とSとの交わりとして得られる円を含む平面をLとする。点Pと点Aから平面Lへ下した垂線の足をそれぞれQRとする。このとき、
であるような点Pの動く範囲Vを求め、Vの体積は10より小さいことを示せ。

解答 問題の状況設定はz軸のまわりに回転しても変化がありません。従って、Py座標をとし、zx平面上で考えておいて、あとからz軸のまわりに回転させて空間図形として考える、というようにもできます。ここでは、空間図形のまま、やってみます。なお、下記の補注を参照してください。

2つの球が出てきますが、それぞれの球面上の点の座標をと表すことにします。
球面Sの方程式は、 ・・・① (球面の方程式を参照)
OP
を直径とする球の中心はTにあります。球の半径はOTです。
OPを直径とする球面の方程式は、
・・・②
①-②により、2つの球面の交わりとして得られる円を含む平面L上の点の座標をとして、平面Lの方程式は、
整理して、
L ・・・③ (平面の方程式を参照)

PLとの距離がPQです。
 (下記()を参照)
ALとの距離がARです。
より、 ・・・④

のとき、④
かつ
かつ ・・・⑤
⑤の表す図形は、を中心とする半径の球面から外側であってかつ、を中心とする半径の球面から内側の部分です。
Pは、球面Sの外側の点なので、 ・・・⑥
⑤かつ⑥を満たす点はありません。

のとき、④
かつ
かつ ・・・⑦
⑦の表す図形は、を中心とする半径の球面から外側であってかつ、を中心とする半径の球面から内側の部分です。
Pは、球面Sの外側の点なので、 ・・・⑧
を満たします。⑦かつ⑧を満たす点は右図黄緑色着色部分にあります(白マルを除く)

球面は、球面Sと点Aで接し、内接します。球面は、球面Sと点Aで接し、外接します。
従って、⑦かつ⑧により、点
Pの動く範囲Vは、
原点を中心とする半径
1の球面より外側であってかつ、を中心とする半径の球面から内側であってを除く部分 ......[]

V
の体積は、半径の球の体積から、半径1の球の体積を引いたものになります。
Vの体積:

補注 上記では、球面の方程式、平面の方程式、点と平面の距離の公式を用いています。
Cを中心とする半径rの球面上の点Pは、を満たします。
座標を用いて書くと、
より、
これが、点Cを中心とする半径rの球面の方程式です。

と垂直で、点Dを通る平面上の点Pは、,即ち、を満たします。

として、を座標を用いて書くと、
と垂直な平面の方程式は、と表すことができます。

Aと平面:との距離hは、点Aから平面に下ろした垂線の足をHとして、 // より、と表せるので、
より、
H
は平面上の点なので、PHに代えた式も成り立ちます。


これより、
 ・・・()
これが、点Aと平面:との距離の公式です。上記の東大理系数学'02前期[3]では、PQARを求めるのに使っています。

また、上記では、①-②として、
2球の交円を含む平面の方程式を求めています。
2球の方程式がだとします。
hkを適当な実数だとして、
・・・⑨
は、2球の交円を含む平面、あるいは球を表します。なぜなら、交円上の点は、
をともに満たすので、⑨も満たすからです。
⑨が球を表すのは、⑨が
という項を含むときです。
⑨が平面を表すのは、⑨が
という項を含まないときです。
の係数がともに1なら、とすれば、⑨からの項を消すことができます。
つまり、
は、2球の交円を含む平面を表します。上記では、平面の方程式③を求めるのに、この技巧を使っています。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/05/10(土) 23:56:18|
  2. 東大数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<東大理系数学'02年前期[4] | ホーム | 東大理系数学'02年前期[2]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/455-8d4f48c9
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。