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東大理系数学'02年前期[2]

東大理系数学'02年前期[2]

nは正の整数とする。で割った余りを
とおく。
(1) 数列
を満たすことを示せ。
(2) に対して、は共に正の整数で、互いに素であることを証明せよ。

解答 多項式の除算数学的帰納法の融合問題です。(2)では、整数もからんできますが、背理法を用いることで証明ができます。
なお、この問題で登場する数列は、
を満たし、東大で頻出のフィボナッチの数列です。

(1) 題意より、に対して、
・・・① (多項式の除算を参照)
とおくことができます。
ここで、とすると、
・・・②

①両辺にxをかけて変形します。

・・・③
②は、で割った余りがだと言っています。
③は、で割った余りがだと言っています。
②,③を比較することにより、に対して、
・・・④

(2) 数学的帰納法により証明します。
i) のとき、
①において、とすると、
より、
よって、は共に正の整数で、互いに素(最大公約数が1)です。

ii) のとき、成り立つとして、は共に正の整数で、互いに素です。 ・・・⑤
このとき、も共に正の整数です。
ここで、が互いに素ではないと仮定します。 ・・・⑥ (背理法については、証明の技巧を参照)
すると、2以上の公約数sをもつはずです。
このとき、pqを正の整数として、とおくことができます。④より、
ですから、2以上の公約数sをもつことになり、が互いに素であるとした数学的帰納法の仮定⑤と矛盾します。
従って、が互いに素ではないとした仮定⑥は誤りで、は互いに素です。
よって、のときも成り立ちます。

1)ii)より、に対して、は共に正の整数で、互いに素であることが示されました。(証明終)


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/05/09(金) 11:02:57|
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