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東大理系数学'06年前期[5](再掲)

東大理系数学'06年前期[5]

とし、数列を漸化式
  ()
によって定める。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) に対し、とおく。
のとき、となることを示せ。
(2) を求めよ。
(3) を求めよ。

解答 難問というわけではないですが、それなりに工夫を凝らす必要があって一本道ではありません。なお数列を参照してください。

(1) より、 ・・・①
 () ・・・② より、
 ・・・③
②より、で、ならで帰納的に、に対して、 ・・・④ (数学的帰納法を参照)
よって、についても、に対して、
これと、③より、
①を用いて、のとき、

(2) ④より、 ・・・⑤
また、(1)より、
これより、のとき、
 ・・・⑥

ところで、のとき、なるxについて、
等号は恒等的に成り立つわけではないので、
について加え、さらに、を用いて、左辺にを加え、中辺と右辺に1を加えると、
左辺は、 (不定積分の公式を参照)
右辺は、
各辺をnで割ると、
 ・・・⑦

とおくと、
x04
×0
×
増減表より、
両辺をx ()で割ると、
ここで、とすることにより、
よって、はさみうちの原理より、
これより、⑦の左辺と右辺は、のとき、だから、ともに0に近づく。
はさみうちの原理より、⑦の中辺についても、
 ・・・⑧
⑤,⑥を用いて、
さらに、はさみうちの原理より、
......[]

(3) (1)よりが言えているので、 ・・・⑨
従って、となるで、となるものを探せばよいのです。
このためには、,つまり、という形の不等式をひねり出さないといけません。
③をながめていると、を利用すれば、この形が作れそうです。

③において、のとき、より、
①を用いて、のとき、

これより、
これと、⑨から、
⑧を使うと、左辺は、のとき、
よって、はさみうちの原理より、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/03/24(月) 14:20:40|
  2. 東大数学'06年
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