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東大理系数学'07年前期[3](再掲)

東大数学'07年前期[3]

座標平面上の2PQが、曲線 ()上を自由に動くとき、線分PQ12に内分する点Rが動く範囲をDとする。ただし、のときはとする。
(1) aをみたす実数とするとき、点Dに属するためのbの条件をaを用いて表せ。
(2) Dを図示せよ。

解答 (1) 2PQの座標をとします。問題文の指定より、です。
PQ12に内分する点Rの座標は、です。
より、とおくことができます。つまり、
 ・・・①

①より、qを消去すると、より、
整理すると、
 ・・・②
となり、pに関する2次方程式が得られます。

一方、①より、pを消去すると、より、
整理すると、
 ・・・③
となり、qについても2次方程式が得られます。

このタイプの問題では、②と③が同じ形2次方程式で、2次方程式の2解がpqなのだ、という問題が多いのですが、この問題では、内分比がPQに関して対称にできていないので、pに関する2次方程式②と、qに関する2次方程式③の形が食い違ってしまいます
ここが、この問題の考えにくいところです。

2つの2次方程式の意味を考えてみます。点Rを通過する直線と曲線との交点を考えます。2交点できたとして、R2交点を結ぶ線分を12に内分する点です。2交点のうちRに近い方の点をP,遠い方の点をQとして、②はPx座標を求める2次方程式、③はQx座標を求める2次方程式になっています。
特別な場合として、Rが曲線上に来る場合は、と考えよう、と、問題文は言っているわけです。

を通過する直線とは共有点をもちます。少なくとも、②,③は実数解を持たなくてはいけないので、判別式はともに0以上です(2次方程式の一般論を参照)
②の判別式:

③の判別式:

どちらも同じ結果となりましたが、この不等式は、PQを曲線上の点とするとき、PQ12に内分する点が、この曲線から上側になければならないことを意味しています。

より、


以上より、点Rは右図1の黄緑色の範囲内のどこかに存在します(従って、領域Dは黄緑色の範囲に含まれるはずです)

以下、右図24では、PQy座標について、となる場合を書いてありますが、となる場合もあり得ることに注意してください。

Rを通過する直線と曲線との2交点の、片方は点Rからy座標の小さい側、もう片方は大きい側にできることに注意してください(直線がx軸に平行な場合は、2交点のy座標はRy座標bに一致します)
(i) まず、右図2のような状況を考えると、点Rを通過する直線と曲線との交点をPQとして、RPQ12に内分する場合が2通りあり、そのいずれも、PQは曲線のの部分に来ます。この状況を(A)とします。
(ii) 右図3のような状況を考えると、RPQ12に内分し、PQとも曲線のの部分に来る場合は1通りです。このとき、Px座標pについて、を満たすものが2通りQx座標qについて、を満たすものが1通りであることに注意してください。この状況を(B)とします。
ただし、この場合、PQのどちらかのy座標はRy座標以下なので、Pの座標pについて、を満たすものが1通りQの座標qについて、を満たすものも1通り、ということは起こりえないことにも注意してください。
(iii) 右図4のような状況を考えると、RPQ12に内分し、PQとも曲線のの部分に入っている場合はありません。ですが、この場合にも、Px座標pについて、を満たすものが2通りあるのです。ですが、どちらの場合も、Qx座標qについて、が満たされないことに注意してください。

何が言いたいかと言うと、だからと言って、2次方程式②がの範囲に実数解を持っていても、PQがともに曲線のの部分にくるとは限らないのです。
これが、この問題のポイントです。単なる「2次方程式の解の配置」の問題ではありません。

問題文の指定に適するのは、上記の状況(A)と状況(B)の場合です。

状況(A)においては、2次方程式②,③ともに、の範囲に2個の実数解を持ちます。
状況(B)においては、2次方程式は、の範囲に、②,③のうち、一方が2個の実数解をもち、他方が1個の実数解を持ちます(とは限らないので、③が2個の実数解をもつ場合も検討する必要があります)。②,③がともに1個の実数解をもつ、ということはありません。
Rが曲線上に来るときも含めるので、「2個の実数解」の場合には重解の場合を含みます。

既に見たように、②,③とも、実数解を持つ条件は、 ・・・④
以下、この条件下で考えます。

p2次方程式②が、の範囲に2実数解を持つのは、として、,かつ、,かつ、,よって、(2次方程式の解の配置を参照)
より、

以上合わせて、 かつ かつ  ・・・⑤

p2次方程式②が、の範囲に1実数解を持つとき、,よって、(中間値の定理を参照)
 ・・・⑥

q2次方程式③が、の範囲に2実数解をもつのは、として、,かつ、,かつ、,よって、
より、

以上合わせて、 かつ かつ  ・・・⑦

q2次方程式③が、の範囲に1実数解を持つとき、,よって、
 ・・・⑧

状況(A)は、④かつ⑤かつ⑦
状況(B)は、④かつ⑤かつ⑧,または、④かつ⑥かつ⑦
ここで、④かつ⑥かつ⑦を満たすのは、のみで、④かつ⑤かつ⑦の場合に含まれます。

よって、求める条件は、④かつ⑤かつ“⑦または⑧”

Dを図示したときの境界線は、
 ・・・(a)
 ・・・(b)
 ・・・(c)
 ・・・(d)
 ・・・(e)
2式ずつ選んで連立して解くと(だけ考えればOKです)
(a)(b)(d)が、において接していること、
(a)(c)(e)が、において接していること、
(b)(c)が、で交わっていること、
(d)(e)が、で交わっていること、
(b)(e)が、で交わっていること、
(c)(d)が、で交わっていること
がわかります。

これより、求める条件は、
のとき、
のとき、
のとき、
のとき、 ......[]

(2) 領域Dを図示すると、右図の黄緑色部分(境界線を含む)



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  1. 2008/03/21(金) 20:39:24|
  2. 東大数学'07年
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