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京大理系数学'08年前期乙[4]

京大理系数学'08前期乙[4]

定数aは実数であるとする。関数のグラフの共有点はいくつあるか。aの値によって分類せよ。

解答 式変形により[4]の問題に帰着します。

 ・・・①
 ・・・②
①,②を連立すると、

よって、

 ・・・③
 ・・・④ または、 ・・・⑤
2次方程式④の判別式: 
2次方程式⑤の判別式: 
2次方程式④は、のときに、相異なる2実数解、のときに実数の重解をもち、のときには実数解を持ちません(2次方程式の一般論を参照)
2次方程式⑤は、aの値にかかわらず、相異なる2実数解を持ちます。

の場合に、③,⑤に共通解があるかどうか調べます。
④×
3-⑤として、

③,⑤に共通解があるとすれば、これが共通解です。
④に代入すると、

 (です)
(i) のとき、
④:
⑤:
よって、③は、3実数解を持ちます。
(ii) のとき、
④:
⑤:
よって、③は、3実数解を持ちます。
(i)(ii)以外のaについては、④,⑤が共通解を持つことはありません。

以上より、①,②のグラフの共有点の個数は、
のとき、4
のとき、3
のとき、2 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/03/15(土) 13:21:04|
  2. 京大数学'08年
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