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センター数学IIB'08年第2問

 センター数学IIB '08年第2問 

aを正の実数とし、x2次関数
   
   
とする。また、放物線およびをそれぞれとする。

(1) の共有点をPとすると、点Pの座標はである。また、点Pにおけるの接線の方程式は
   
である。

(2) x軸および直線で囲まれた図形の面積はである。また、x軸の交点のx座標はであり、x軸で囲まれた図形の面積はである。

(3) の範囲で、二つの放物線2直線で囲まれた図形をRとする。Rの中で、を満たすすべての部分の面積
のとき 
のとき
   
のとき 
である。したがって、aの範囲を動くとき、で最小値をとる。

解答 こういう問題は、私には賛成できません。いかに手抜きをして要領よく計算するかというずる賢さが問われているわけで、まるで、世渡り上手なお役人さんを奨励しているような問題です。以下の解答のように丁寧にやっていては、他の問題にかける時間がなくなります。

(1) を連立すると、


 (重解だということは、は接しているということです)
このとき、
の共有点(接点)Pの座標は、
() 4 () 3 () 2 () 9 ......[]
より、点Pにおける接線(実は、共通接線です)は、
() 1 () 3 () 2 () 9 ......[]

(2) x軸および直線で囲まれた図形F面積は、
() 1 () 3 ......[]
とすると、
() a (シス)  ......[]
x軸で囲まれた図形Gの面積は、
 (定積分の公式を参照)
() 1 () 6 ......[]

(3) の計算は、図形Gが、
(i) の中に入りきる(,つまり、)、か、
(ii) から右側が一部はみ出す()、か、
(iii) から全部が右側に出てしまう()
3つの場合に分けて行います。
() 1 () 2 ......[]
(i) の場合は、は、図形Fの面積から図形Gの面積を引いたものとなり、
 (問題文に書いてあります)
(iii) の場合は、は、図形Fの面積に等しく、
 (問題文に書いてあります)
(ii) の場合、は、図形Fの面積から、x軸と直線で囲む面積を引いたものになり、


() 5 () 6 () 4 () 6 () 3 ......[]
のとき、なので、で最小となることはありません。
における最小値は、です。
においては、
a12
00
増減表より、は、で最小値をとります(3次関数の最大最小を参照)
() 6 () 5 () 3 (ハヒ) 25 ......[]
注意 センター試験の会場では、最小は、引く方の面積:が最大のときと最初から決めつけて計算してください。最小値は、からの最大値(通分しないでおく)を引いて求めます。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/01/22(火) 23:34:52|
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