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コンデンサーの過渡現象の計算

コンデンサーの過渡現象の計算

右図のように、起電力Vの電池と抵抗R静電容量Cコンデンサーとスイッチを接続した回路を考えます。最初にコンデンサーの電荷0だとします。
時刻においてスイッチを閉じます。回路に流れる電流I,コンデンサーが蓄えている電荷Qとすると、抵抗における電圧降下,コンデンサーにおける電圧降下キルヒホッフ第2法則より、
より、
積分すると、
 (微分方程式を参照)
(D:積分定数)

はじめにコンデンサーの電荷0だったので、においてとすると、

回路を流れる電流と、コンデンサーが貯めこむ電荷の変化の状況を右図に示します。
のとき、ですが、これは、コンデンサーを抵抗ゼロの導線で置き換えた(これを短絡と言います)ときの電流です。スイッチ投入直後にコンデンサーは短絡されてしまったのと同様の動作をします。
また、
充分時間が経過して、とすると、となり、コンデンサーの充電が完了しますが、これは、電池を直接コンデンサーに接続した場合と同じ状態になります。電流が流れず抵抗両端の電圧がゼロなので、抵抗はあってもなくても同じことになります。

ここで、コンデンサーが貯めこむ
静電エネルギーを考えます。コンデンサー両端の電圧と変化する間に、コンデンサーの電荷と変化し、変化分はです。この間にコンデンサーが蓄えた静電エネルギーは、(電位fの位置における電荷q静電エネルギー電位を参照)電圧0からVまで変化する間に、コンデンサーが貯めこむ静電エネルギーUは、として、
 (区分求積法を参照)
最終的な電荷Qについて、より、コンデンサーが貯めこむ静電エネルギー
と、いろいろに表せます。
さて、コンデンサーの
電圧電荷Qの増大にともなって増大しますが、電池においては、電荷Qを送り出す間、電圧は一定値Vです。従って、電池が供給する静電エネルギー、つまり、電池のする仕事は、と考えられます。コンデンサーが貯めこむ静電エネルギとつじつまが合いません。
から充分時間が経過するまでに抵抗Rで消費されるジュール熱Hを求めてみます。

つまり、電池が供給する静電エネルギーのうち半分は、抵抗でジュール熱として消費されてしまうので、コンデンサーには半分のしか蓄えることができないのです。
超伝導のように
抵抗がゼロでない限り、コンデンサーには、電池のした仕事の半分しか静電エネルギーを蓄えることはできません


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  1. 2008/01/16(水) 14:47:56|
  2. 電磁気分野
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:7
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コメント

抵抗ゼロ

>超伝導のように抵抗がゼロでない限り、コンデンサーには、電池のした仕事の半分しか静電エネルギーを蓄えることはできません。

この記述に対して疑問を持っています。
式で証明することはできますか?
  1. 2008/07/03(木) 13:05:33 |
  2. URL |
  3. bonbon21 #gIvvFm4k
  4. [ 編集]

Re: 抵抗ゼロ

>この記述に対して疑問を持っています。
>式で証明することはできますか?

こういう類のご質問には正直辟易するのです。
もちろん、証明できるはずがありませんね。

どうして、
f=ma
になるのか、証明せよ、というのと同じ類のことです。

物理学は数学ではないのです。
数学は「絶対的な真理」を追求できますが、物理学は「神様の意図」に近づくことができるだけです。
物理学の基礎事項は、神様がそのように宇宙を創ったのだ、と認めるところから始めて、その利用法を考えるべきであって、物理学の専門家ならともかく、一般人は、逐一の証明を追求するべきではない、というのが私の立場(現行の、高校物理のカリキュラムもそうできています)です。
物理の基礎事項は、証明できるものは証明すればよいし、証明できないものは素直に認めればよいのです(物理学の進歩によって将来変更されるかも知れませんが)。

抵抗ゼロだったら、電子の移動速度はどうなるのか、という方向に追求しないで、電子の移動速度は有限であって、抵抗はゼロには成り得ない、従って、コンデンサーが蓄えるエネルギーは、電池のした仕事の半分にしかならない、という風に進めるべきです。

多分、理想的な超伝導状態では、理想的なLC振動回路と同様に、電子、従って、エネルギーは、電池とコンデンサーの間を減少することなく、行ったり来たりを繰り返すのではないでしょうか?もちろん、証明などできませんが。
  1. 2008/07/11(金) 09:29:14 |
  2. URL |
  3. VOID #-
  4. [ 編集]

すみません。少し説明が足りなかったと反省しています。

>超伝導のように抵抗がゼロでない限り、コンデンサーには、電池のした仕事の半分しか静電エネルギーを蓄えることはできません。

VOIDさんの記述によると,コンデンサーの両端の電荷の移動という観点から求められる静電エネルギーは,回路の抵抗の値に無関係に0.5QVですよね。

それなら,

>【超伝導のように抵抗がゼロであっても】、コンデンサーには、電池のした仕事の半分しか静電エネルギーを蓄えることはできません。

が,正しいのではないでしょうか。

超伝導状態での回路におけるエネルギー保存関係に関しては,電池の仕事の半分はジュール熱ではない別のエネルギー(電磁波??)として,静電エネルギー以外のエネルギーに変わるはずだと考えています。この点でVOIDさんの考えとは異なりますね。

式で証明できますかとお聞きしたのは,抵抗ゼロの回路で静電エネルギーがQVと表されることを証明して頂きたかっただけで,決してma=Fの正当性を示して欲しいといった,大それたものではないことをご了解頂きたいと思います。
  1. 2008/07/24(木) 19:26:32 |
  2. URL |
  3. bonbon21 #-
  4. [ 編集]

Re:

bonbon21さん

> すみません。少し説明が足りなかったと反省しています。

どうも私の申し上げたいことが、ご理解頂けていないようなのですが、
私が申し上げたいのは、少なくとも、このウェブサイトにおいては、
非現実的な状況における物理学がどうなるか、とか、究極の物理学はどんなものか、
ということではなく、現実的な、もっとはっきり申し上げれば、
大学入試問題レベルの状況を考えていきましょう、ということです。

抵抗ゼロだったらどうなるか、無限大の電流が周囲の電磁場に影響を及ぼせるのであれば、
bonbon21さんのおっしゃる通りかも知れませんが、
現実には抵抗ゼロということは起こりえないのです。
電流が電磁場に影響を与える時点で、抵抗ゼロに成り得ないだろうと、私は感じます。
抵抗ゼロで電荷が移動する、ということになると、電荷は無限の速度で
電池とコンデンサーの間を移動するのでしょうか?
そんなことは、少なくとも大学入試問題を考える上では役に立たないことです。
量子テレポーテーションというのならともかく、工学応用分野においても、
少なくとも現段階では、実利的なものではありません。

起こりえないことの方を問題にするのではなく、電池が供給するエネルギーの半分しか
コンデンサーに蓄えられない、というのは、不思議な気がしますが、
そのことを認めて入試問題を考えていきましょう、ということです。
それで、充分に有益な情報がたくさん得られるのです。
  1. 2008/07/25(金) 10:22:32 |
  2. URL |
  3. VOID #-
  4. [ 編集]

論争をするつもりはないのですが,議論がかみ合っていないようなので,もう一度書かせて頂きます。

私が確認したかったのは,回路の抵抗値に無関係に静電エネルギーは0.5QVであることは明らかなので,VOIDさんのお書きになった,

>超伝導のように抵抗がゼロでない限り、コンデンサーには、電池のした仕事の半分しか静電エネルギーを蓄えることはできません。

は,”間違いではないですか?” ということです。
この文章は,抵抗ゼロなら電池の仕事の半分が静電エネルギーになることを否定しますよね。

入試問題のなかには抵抗を明記しないコンデンサー回路の問題もあります。(もちろん導線部分の抵抗が無視できないという前提なんでしょうが。) このサイトを見ている受験生の中には,VOIDさんの記述を真に受けて,静電エネルギーをQVとしてしまう者が出てこないとも限りません。

式で証明して欲しいとか,ややこしいことを書いたばっかりに,VOIDさんの機嫌を損ねることになったかもしれませんが,”訂正すべき”というのが,僕の言いたかった核心部分です。

よろしくお願いいたします。
  1. 2008/07/25(金) 12:33:47 |
  2. URL |
  3. bonbon21 #-
  4. [ 編集]

Re:

bonbon21さん

かみ合っていませんね。

bonbon21さんが、最初にコメントに書かれたのと同じような意味合いで、
「超伝導のように抵抗がゼロでない限り、コンデンサーには、電池のした仕事の半分しか静電エネルギーを蓄えることはできません。」が、

   間違っている

ということもまた言えないのですよ。
何度も主張させて頂きますが、天動説に始まって、「物理学」というのは絶対的真実ではないのです。

船首波というのがありますが、船が水面から抵抗を受けて有限な速さで進むのでV字型の波ができます。
しかし、水面の抵抗がなく、船が無限大の速さで走ったら、船首波はどうなるのでしょうか?
同様に、無限大の速さで電荷が電池とコンデンサーの間を移動したら、周囲の電磁場はどうなるのでしょうか?
こういう議論は不毛だ、と、申し上げたいのです。

言えることは、抵抗ゼロという状況は現実世界にはなく、従って、電池がする仕事の半分しかコンデンサーには蓄えられない、ということです。
それ以上のことを、人間の能力の限界を超えて議論するようなことはやめましょう、と申し上げたいのです。
まして、極限状況で何が起こるか、ということについて、これが正しい、これは誤り、というようなことを言えるはずがないのです。

江戸時代の人が、
おてんと様が西から昇るのでもない限り、あっしはウソをついたりしませんぜ。
と言うのは、あっしは絶対にウソをつかない、と、言いたいのであって、おてんと様が西から昇ると、
京都の方が江戸よりも少し早く朝になる、とか、太陽が西から昇るはずがない、というようなことを議論したいのではないのです。

もっと、言うのであれば、サイトの趣旨からずれたことがらについて云々する以前に、このウェブサイトには、もっと、改良しなければいけない点が山ほどあります。
この問題は、運動方程式で解いているが、エネルギーを考えるべきではないのか?
この状況で、本当にエネルギーは保存されているのか、等々。
HTMLのタグの使い方にも問題があって、FireFoxでうまく表示できない、というような問題もあります。
こういう点について、ワイワイガヤガヤと楽しく議論していきたい、というのが、私の希望です。
  1. 2008/07/25(金) 18:13:22 |
  2. URL |
  3. VOID #-
  4. [ 編集]

追記

ついでに申し上げておくと、
受験生に間違えて欲しくないから、わざわざ、background-colorまでつけて、
電池のした仕事の半分しかコンデンサーには蓄えられません。
と、強調しているのです。
抵抗ゼロでもない限り、というのは、高校生が半分になってしまうことを不思議がるので、こういう言い方にしている、というだけのことであって、抵抗がゼロだったら、どうなるのか、という方向に目を向けて欲しくない、ということです(あなたが、ひょっとして、素粒子理論の専門家だと言うのであれば、議論を吹っかける対象を間違えています)。
  1. 2008/07/25(金) 19:04:06 |
  2. URL |
  3. VOID #-
  4. [ 編集]

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