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電位(静電ポテンシャル)

電位(静電ポテンシャル)

電位(静電ポテンシャル)fとして、電界は、

空間に電界ができているとき、
 (偏微分を参照)
と表せるような関数が存在します。この関数f電位(静電ポテンシャル)と言います。
真空中で原点
O電荷qが置かれているとき、空間内には、
 (ガウスの法則を参照)
という電界が発生しますが、これはrのみの関数です。
原点から半直線を引いて
r軸とし、r軸上で、という関数を考えると、
 (frのみの関数なので、)
より、電界r方向成分について、
となります。
を比較すると、電位電界の大きさに長さの次元を1つかけたものになっています。電界の単位は[N/C]なので、電位の単位はです。
電位の単位を[V](ボルト)とすると、電界の単位は[V/m]となります。
単位でわかるように、
電位電荷をかけたものはエネルギーの次元を持ち、電位[V]の位置に電荷Q[C]が存在するとき、この電荷位置エネルギー[J]を持ちます。
この
[J]静電エネルギーと言います。
無限遠を
位置エネルギーの基準にとり、原点O電荷qが置かれていて、電荷Qを無限遠から、原点Oよりrの位置まで持ってくるときの仕事Wを考えると、電荷Qr方向に電気力を受ける(rの位置まで持ってくるです)ので、
となっています。
また、
x方向に大きさEの一様な電界ができているとき、 (一定)より、 (c:定数)と表せて、x方向に距離d2点間には、電位差が発生します。つまり、大きさEの一様な電界中の電界の向きに沿って距離d2点間の電位差Vは、
です。電位差電圧とも言います。

電界球対称でない場合、あるいは、電界一様でない場合には、電位を求めるためには、線積分することが必要になります。即ち、電位の基準点からの経路に沿って、電界を積分し、

平面上で電位の等しい点を結んでできる曲線を等電位線、空間内で電位の等しい点を結んでできる曲面を等電位面と言います。
ある曲面、ある曲線に沿って、
fが定数であれば、その方向では、より、電界は成分を持たないので、電界ベクトルは、等電位線、等電位面に垂直になります。
平面上においては、等電位線は
電気力線の直交截線(微分方程式の例3.を参照)になっています。
例えば、
xy平面上の原点に正電荷が置かれている場合、電気力線を与える方程式は、 (k:定数)となりますが、と合わせて定数kを消去すると、

等電位線は、電気力線と直交するので、等電位線の微分方程式は、
積分すると、

 (C:積分定数)
よって、
等電位線は円になります。


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