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面積分

面積分

空間内のある曲面U上で定義され、曲面U上の点における値がで与えられる関数があったとします。
曲面
U上の点が、を満たしている(これ以外の場合は、もっと複雑になります)とします。
は、xyの関数です。
yを固定し、からまで、xについて、を積分します。
yの関数です。
からまで、yについて、を積分したもの、
を、
 ・・・①
と書いて、の曲面Uにおける面積分と言います。

Pにおける曲面Uの接平面をKとします。
Pを通りxy平面に垂直かつx軸に平行な平面でKを切ると、切り口にできる曲線の接線の方向ベクトルはです。
Pを通りxy平面に垂直かつy軸に平行な平面でKを切ると、切り口にできる曲線の接線の方向ベクトルはです。
接平面
Kの法線ベクトルは、この2つのベクトルが作る平面に垂直なベクトルなので、両者の外積を求めると、
このベクトルの大きさは、となるので、接平面の法線ベクトルx軸,y軸,z軸となす角をqjfとして、を満たすようにすると、
です。
接平面
K上にとった微小部分の面積をxy平面への正射影がだとして、です(同様に、)
①において、
のとき、つまり、
は、曲面Uの面積を表します。

また、上記より、面積分を、
と書くこともできます。同様にして、

を考えることができます。

曲面
U上で定義され、曲面U上の点Pにおいてベクトル値
をとる関数を考えます。
と見て、上記の面積分Iを考えると、
 ・・・②
同様に
 ・・・③
 ・・・④
とします。
と平行、つまり、点Pにおける曲面Uの接平面Kと垂直(向きは閉曲面では曲面の外側に出る向きとします)で大きさがdSであるベクトルを考えると、x軸,y軸,z軸とのなす角を、q jfとして、上記より、
です。すると、
となりますが、このをベクトルの曲面Uにおける面積分と言います。このを等ウェブ・サイトでは、面積素片と呼ぶことにします。

において、大きさが,向きがの向きとなるような流れがあって、③,④,②のJKIは、この流れのx軸方向、y軸方向、z軸方向の流量を表しています。
面積分:
は、曲面Uを通して流れ出す流量を表します。


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  1. 2007/12/30(日) 18:18:40|
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