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ガウスの法則

ガウスの法則

電界の大きさと、電界の向きに垂直な面の面積をかけたものは電気力線の総本数を表す。これをガウスの法則と言う。
真空中において、
電荷qから伸びる電気力線の総本数は(但し、は真空の誘電率、)
点電荷q距離r離れた点につくる電界の大きさEは、

電気力線の密度は電界の大きさです。
真空中に
点電荷q1個置かれているとして、この点電荷が作る電界を考えてみます。
空間の対称性から、点電荷qから距離rのところ、半径rの球面上の点では、どこでも同じ大きさの電界になるはずです。つまり、電気力線の密度が等しくなるはずです。
また、
電気力線正電荷から出て負電荷に終端するまで増えもせず減りもしません。球面上で電気力線の密度が等しくなるのであれば、rを大きくしていくとき、この球面の面積に反比例して電気力線の密度が小さくなり、電界の大きさは弱まると考えるのが自然です。さらに、電気力線の密度、即ち、電界の大きさは点電荷の電気量qに比例すると考えるのが自然です。つまり、
真空中で、この比例定数をとすると、
 ・・・②
とおくと、
これが真空中で原点Oに置かれた点電荷q距離r離れた点Pに作る電界の大きさを与えます。です。であれば、もう一つの正の点電荷を空間中のどこに置いても斥力が働くので、電界の向きは、の向きです。点電荷qからは放射状に電界ベクトルが並ぶことになります。として、電界の向きも含めてベクトルで表すと、電界ベクトルは、
 (方向の単位ベクトル)
と表すことができます。
比例定数に出てきた
真空の誘電率と言います。
と書けるので、真空の誘電率の単位は、となります。
②は、
と見ることもできます。は球面の面積電気力線の密度をかけたもので、球面を通過する電気力線の本数を表します。(2)に書いたように、電気力線正電荷から出発して増えもせず減りもせず負電荷に向かうので、の場合、点電荷qからは本の電気力線が出て行き、の場合に、点電荷q本の電気力線が終端します。高校の教科書では、この事実をガウスの法則と呼びます。

例1 真空中において、面積Sの平面上に電荷Qが分布している場合、この平面をぴったり覆う曲面を考えると、その面積 (上面、下面の両面を覆うから)
ガウスの法則より、この平面の上側、下側の電界の大きさ(端の効果を無視する)は、
誘電率eの物質中では、電界の大きさはとなる。

例2 真空中で、面積Sの極板を間隔dをへだてて2枚平行に向き合わせる。片方の極板A電荷Q,もう一方の極板B電荷を置く。
両極板の間の
電界は、各極板が作る電界の和となり、A電荷B電荷も、ABの方向に電界を作るから、例1より、
一方、AB間の電圧Vとすると、極板間の電界は一様だから、

(平行板コンデンサーの静電容量)とおくと、コンデンサーの公式:が導かれる。
極板間に誘電率
eの物質が存在する場合には、静電容量として、となる。比誘電率を用いて、静電容量と書くこともできる。


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