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センター数学IIB'07年第4問

 センター数学IIB '07年第4問 

Oを原点とする座標空間に4ABCDがある。とし、線分ABaに内分する点をE,線分CDaに内分する点をFとする。
(1) aを用いて
   
と表される。さらに、に垂直であるのはのときである。
(2) とする。として、線分EFbに内分する点をGとすると、bを用いて
   
と表される。
(3) (2)において、直線OGと直線BCが交わるときのbの値と、その交点Hの座標を求めよう。
Hは直線BC上にあるから、実数sを用いてと表される。また、ベクトルは実数tを用いてと表される。よって
   
である。したがって、点Hの座標は
   
である。また、点Hは線分BC1に外分する。

解答 見易くするために、ベクトルを縦ベクトルで書いて計算して行きます。

(1) 線分ABaに内分する点をEの位置ベクトルは(空間ベクトルを参照)

線分CDaに内分する点をFの位置ベクトルは、


(アイ) 2 (ウエ) 2 () 1 () 4 ......[]

より、

() 1 () 4 ......[]

(2) のとき、
線分EFbに内分する点をGの位置ベクトルは、

() 3 () 2 () 4 () 1 () 2 () 1 ......[]

(3) より、
より、

一方、


3式より、
1式のsを第2式に代入して


1式より、
() 3 () 4 () 3 () 2 () 4 ......[]
これより、
() 3 () 2 (ニヌ) 1 () 1 ......[]
より、HBC31に外分する点。
() 3 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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