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センター数学IIB'07年第2問

 センター数学IIB '07年第2問 

として、xの関数
   
   
とする。
(1) 二つの関数の差
   
と表され、xの方程式が異なる二つの実数解をもつようなaの範囲は
   
である。
また、のとき、最大値
   
をとる。
(2) (1)で得られた最大値を
   
と表す。aの関数と考えるとき、で最大値をとる。
(3) のとき、曲線と曲線の二つの交点PQの座標は
   PQ
であり、二つの曲線で囲まれた部分の面積S
   
である。
さらに、交点Pにおける曲線の接線と曲線の接線がなす角をq ()とすると
   
である。

解答 単なる計算問題ですが、ボリュームがあるので、計算速度が問われます。
()()をミスすると全滅になるので、ここを丁寧に何度も確認してください。の展開をミスしたばかりに、ペースを崩し、東大どころか、センター試験以降の入試を全て失敗してしまう、という悪夢が起こりうるのです。
途中で枠にはまらなくなったら、必ず、一番最初から見直すこと。

(1)

(アイ) 3 () 3 () 3
とすると、
これの判別式Dより(2次方程式の一般論を参照)

より、
() 2 () 3 ......[]

これは、のとき、最大値をとります(2次関数の最大最小を参照)
() a () 2 () 4 (コサ) 12 () 2 ......[]

(2)


a 2
0
4
増減表より、のとき、最大値は4 (3次関数の最大最小を参照)
() 2 () 4 ......[]

(3) のとき、


より、
交点は、PQ
() 0 () 3 () 2 () 3 ......[]
二つの曲線で囲まれた部分は、の範囲にあり、この範囲において、 (は、この範囲内で正の最大値をとります)であることから、求める面積は(定積分と面積を参照)
 (定積分の公式を参照)
() 9 () 2 ......[]
Pにおける、曲線接線の傾きを,曲線の接線の傾きをとして、


ここで、両接線のなす角の正接を、
 (正接の加法定理を参照)
として計算すると、になっているので、 ()として、

() 9 () 7 ......[]
ここで、不運にも、と計算した場合には、は鈍角なので、という条件に合わせて、補角の方を考え、を解答にします。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2007/09/21(金) 12:13:59|
  2. センター数学'07年
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