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早大理工数学'07年[5]

早大理工数学'07[5]

xy平面において、点を中心とする半径5の円をC,点を中心とする半径4の円をDとする。CDの共通接線のうち、CDが異なる側にあり傾きが正であるものを,傾きが負であるものをとし、CDが同じ側にあり傾きが正であるものをmとする。以下の問に答えよ。
(1) 直線の方程式を求めよ。
(2) 直線mの方程式を求めよ。
(3) 三直線mのすべてに接しCDと異なる円をEとする。二円Eの中心のx座標を求めよ。
(4) (3)の円Eの半径を求めよ。

解答 (1)(2)は相似を考えて図形的に処理する方がラクですが、ここではオーソドックスにやってみます。

CDの共通接線の方程式を ・・・① とおきます。
題意より、①と
との距離が5なので(円と直線の位置関係を参照)
 ・・・②
①ととの距離が4なので、
 ・・・③
②,③より、を消去して、絶対値を外すと、
 ・・・④

④の複号のプラスをとると、
 ・・・⑤
②より、
整理すると、
2乗して、

これと⑤を①に代入し、aで割る(なら直線を表さない)と、
 ・・・⑥

④の複号のマイナスをとると、 ・・・⑦
②より、
5で割り2乗すると、

これと⑦を①に代入し、aで割ると、
 ・・・⑧

(1) ⑥,⑧のうち、CDが異なる側にあり傾きが正であるものは、
......[]

(2) ⑥,⑧のうち、CDが同じ側にあり傾きが正であるものは、
m ......[]

(3)
を共通接線とする円の中心は、なす角の2等分線上に来ます。つまり、円Eの中心はy軸上にあるので、そのx座標は0 ......[]

(4) Eの半径をr,中心のy座標をdとする(題意より、)と、との距離がrなので、
() ・・・⑨
mとの距離がrなので、
分母を払い、⑨を代入して、
で割り、絶対値を外すと、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2007/09/12(水) 17:53:58|
  2. 早大理工数学'07年
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