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京大理系数学'06年前期[5]

京大理系数学'06年前期[5]

 に対し、辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを、辺CA上に点Rを、頂点とは異なるようにとる。この3点がそれぞれの辺上を動くとき、この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ。

[解答] Pは辺AB上の頂点とは異なる点だから、として、 ・・・① とおくことができます。
Qは辺BC 上の頂点とは異なる点だから、として、 ・・・② とおくことができます。
Rは辺CA上の頂点とは異なる点だから、として、 ・・・③ とおくことができます。
三角形PQRの重心をGとして、

 
 
とおくと、
 ・・・④

より、
より、
また、より、

右図で、辺AB3等分する点をA側から、DHとします。
BC3等分する点をB側から、EIとします。
CA3等分する点をC側から、FJとします。

④式で定める点Gについて、
を満たすのは、直線AC上の点。
を満たすのは、直線HE上の点。
よって、を満たすのは、直線ACと直線HEに挟まれた部分(両直線上を除く)
を満たすのは、直線AB上の点。
を満たすのは、直線FI上の点。
よって、を満たすのは、直線ABと直線FIに挟まれた部分(両直線上を除く)
を満たすのは、直線BC上の点。
を満たすのは、直線DI上の点。
よって、を満たすのは、直線BCと直線DIに挟まれた部分(両直線上を除く)

以上より、求める範囲は、右図斜線部の六角形DHEIFJの内部(境界線は含まない) ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/03/25(土) 15:27:46|
  2. 京大数学'06年
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