FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

微分方程式(その2)

微分方程式(その2)

微分方程式の続きです。

線形
1階微分方程式と呼ばれるタイプがあります。y1次式で表される微分方程式です。
 ・・・①
のような形をしています。まず、

という変数分離型の微分方程式を考えます。を移項して、を両辺にかけyで割ることにより、


とすると、
 (C:積分定数)

と置き直すと、

ここで①の解を考えるのですが、今定数としているDxの関数として、と置き直したものが①の解になると考えます。この技巧を定数変化法と言います。
 ・・・② として、①に代入すると、

 
 
より、

これより、


②に代入すると、

が解になります。

1. 右のような、交流電源と抵抗とコイルが直列に接続された電気回路で、電源電圧がのように変化するとき、回路に流れる電流を求める。
[解答](物理を選択していない人は、微分方程式を解くところだけを着目してください)
電流をIとして、抵抗両端の電圧は,コイル両端の電圧は
キルヒホッフの第2法則により、回路の電圧降下と起電力が等しく、
よって、 ・・・①
という微分方程式が得られます。
まず、
と解くと、


 (C:積分定数)

①の解を求めるために、定数に置き換えて、 ・・・② を①に代入します。




 
 
 
 
 

 (C:積分定数)
②に代入すると、 ......[]

物理への応用(その2)で出てきた、

のように、2階の微分、1階の微分、もとの関数の1次式で表されるタイプを線形2階微分方程式と言います。
線形
2階微分方程式のうち、定数係数のものを考えます。
 ・・・③
いろいろな解法があるのですが、ここでは、③を形式的に以下のように書き換えます。
 ・・・④
微分を含む式を因数分解するので、驚くかも知れませんが、右側を通常の数式と全く同様に展開してみると、

となり、であればよいことになります。つまり、tに関する2次方程式:2解をab として、④式を考えればよいのです。
さて、
とし、④式を見て、を満たす解をとすると、なので、は④の解です。
同様に④は、
とも書けるので、を満たす解をとすると、も④の解です。


 (:積分定数)

同様に、の解は、を定数として、
ここで、という関数を考えると、

 
となり、として、 ・・・⑤ (この形を、ベクトルのにならって一次結合と言います)は④の解になっています。

の場合には、④は、となりますが、中カッコの中をzとすると、の解は、
よって、の解を、線形1階微分方程式で用いた定数変化法を用いて、として代入すると、


 (cdは定数)
④が、となったときの解は、となります。

に戻ります。
2次方程式:が、判別式:であって、ab がともに実数の場合には,⑤で問題ありませんが、であって、ab が虚数の場合には、 (iは虚数単位)だとして、④の解が、

ということになってしまいます。このときには、オイラーの公式を用い、として、

      
yが実数であるなら、

となります。
pqが実数であるときには、となり、

となるように、を決めておけば、

この場合には、解を、

の形に書くことができます(の形でもよい)の場合には、減衰振動(物理への応用(その2)を参照)を表します。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/10/06(金) 11:11:03|
  2. 未分類
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<積分法 | ホーム | 微分方程式>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/181-58bda3b0
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。