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微分方程式

微分方程式

理への応用(その2)という項目の中に、
一定の力と速度に比例する抵抗力を受けて運動する物体に関する関係式として
 ・・・①
とか、単振動している物体にさらに速度に比例する抵抗力も働く場合の関係式として、
 ・・・②
という式が出てきました。それぞれ、運動を表す式ですが、ある関数の導関数を含んでいる関係式を微分方程式と言います。
①の場合には、が、微分方程式①の解になります。
②の場合には、例えばの場合には、 (ただし、) が解になります。
このように、微分方程式では、微分方程式を満たす関数が解になります。
微分方程式では、微分方程式を満たす関数を求めることを、「微分方程式を解く」と言います。

微分方程式を解く際に、不定積分の計算が出てくるのですが、不定積分を行うと積分定数が出てきます。この積分定数の値を確定するために、時刻における速度の値や、x座標の値を指定したりします(何をどう指定するかは問題ごとに異なります)。積分定数の値を指定するための条件を初期条件(ある時刻における関数値、導関数値などを指定)、境界条件(ある位置における関数値、導関数値などを指定)などと言います。

微分方程式でもっとも簡単なものは、

というタイプです。
これは、右辺をxで積分することにより、即座にyが求まります。つまり、


1. ,但し、のときとする。
[解答]  (Cは積分定数)
のとき、
......[]

次に簡単なタイプは、
 ・・・③
というタイプです。上記の①:は、このタイプです。
理への応用(その2)という項目においては、逆関数の微分法の公式を用いて、


としたのですが、これを、を分数のように扱い、③を形式的に次のように式変形します。
を右辺に移項し、を左辺に移項(を両辺にかけ、で両辺を割るという感覚です)し、

という形を作って、両辺に積分記号をつけます。

 (積分定数は、にまとめます)
とします。

2. ①を、のときという初期条件のもとに、この形式で解くと、
[解答] 


 (Cは積分定数)

ここで、と置き直すと、
のとき、

......[]
注.厳格には、で割るので、という確認が必要です。この問題では、初期条件にという条件が必要になります。

③をもう少し複雑にしたものに変数分離型と呼ばれるタイプがあります。これは、xのみの関数yのみの関数の積の形に表せるというものです。つまり、

両辺に形式的にをかけ、で割ります。


ここから、関数を求めます。

3. abを与えられた正の定数とする。cがいろいろな値をとることにより得られる曲線群:の曲線のすべてと直交する曲線を求める。但し、求める曲線は点を通過する曲線であるとする。
[解答]  両辺をxで微分すると、 ・・・④
求めたい曲線は、ある特定のcの値に対する1つの曲線と直交するのではなく、cがいろいろな値をとることにより得られる曲線群のすべてと直交するので、を用いてcを消去します。


この式は、曲線群に属する曲線の点における接線の傾きがであることを意味しています。
従って、これと直交する曲線の同じ座標における接線の傾きは、でなければなりません。
従って、求める曲線について、が成立します。
両辺に形式的にをかけ、xで割ると、


(Cは積分定数)
両辺にをかけて、
これは楕円です。
この問題に関する限り、もとの曲線群に属する曲線の一つが、x軸、あるいは、y軸に一致することはあり得ないので、楕円のx軸上の点とy軸上の点を除いておかなければなりません。
この楕円が、を通過するような楕円である場合には、となります。求める曲線は、楕円: (但し、を除く)となります。
もとの曲線群が、だったとすると、を通過するのならを通過するのならという双曲線になります。
注.ある曲線群に属するずべての曲線と直交する曲線を直交截線と言います。物理の電磁気で出てくる、すべての電気力線と垂直な等電位線がこれにあたります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/10/05(木) 09:47:32|
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