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阪大理系数学'13年前期[5]

阪大理系数学'13年前期[5]

n3以上の整数とする。n個の球,・・・・・・,n個の空(から)の箱,・・・・・・,がある。以下のように、,・・・・・・,の順番に、球を箱に1つずつ入れていく。
まず、球を箱,・・・・・・,のどれか
1つに無作為に入れる。次に、球を、箱が空ならば箱に入れ、箱が空でなければ残りの個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる。
一般に、について、球を、箱が空ならば箱に入れ、箱が空でなければ残りの個の空の箱のどれか
1つに無作為に入れる。
(1) が入る箱はまたはである。これを証明せよ。
(2) に入る確率を求めよ。

解答 (2)が難問ですが、が箱,箱に入る場合と、箱に入る場合と、それ以外の場合とに分け、それ以外の場合には球と箱が個以下になる場合を考えればよいことに気づければ解答できます。なお、独立試行の確率を参照してください。

(1) は箱,・・・・・・,のどれにも入る可能性があります。 ()を入れ終わったとき、を入れる時点で、が空いていればに入り、空いていなければ、には既にのどれかがに入っています。つまり、を入れ終わった時点でには必ず球が入っています。
従って、を入れる時点で、には必ず球が入っています。ということは、が入る箱はまたはです。
(2) 以下で、箱をで表し、左から順に,・・・の順に並んでいるとします。また、箱にが入ったとき、と表すことにします。
まず、の場合で、に入る確率を考えてみます。
の入れ方について以下の場合が考えられます。
(i) に入れると、が空いているので、に入ります。
 確率
(ii) に入れると、が空いていないので、またはに入ります。
 に入ることはありません。
(iii) に入れると、が空いているので、に入ります。
 (i)と同様に、確率
に入る確率はです。
の場合、に入る確率を考えます。
(i) に入れると、が空いているので、に入ります。
 確率
(ii) に入れると、が空いていないので、のどれかに入ります。この状況は、と読み替えると、のときの状況と同じで、に入る確率はでした。
に入れる確率はなので、このときに入る確率は、
(iii) に入れると、に入ることはありません。
(iv) に入れると、(i)と同様に、に入る確率はです。
に入る確率は、です。
の場合、に入る確率を考えます。
(i) に入れると、が空いているので、に入ります。この確率は
(ii) に入れると、が空いていないので、のどれかに入ります。この状況は、のときと同じで、このときに入る確率は、
(iii) に入れると、に入るのですが、が空いていないので、のどれかに入ります。この状況はのときの状況と同じで、このときに入る確率は、です。
(iv) に入れると、に入ることはありません。
(v) に入れると、(i)と同様に、に入る確率はです。
に入る確率は、です。
以上より、一般の整数
n ()の場合、球を箱に入れる確率はになると予測できます。予測が成り立つことを数学的帰納法で示します。
() のときは上記より成立します。
() のとき、となる整数mについて、球と箱がm個あるときに、球を箱に入れる確率がであると仮定します。
(i) またはに入れると、 ()に入るので、に入れる確率は各々
(ii) ()に入れると、に入れられなくなりますが、このときの状況は、球と箱の個数が ()だったときの状況と同じです。
に入れる確率が,その後の状況の確率は帰納法の仮定よりで、に入れる確率は各々,この場合は、通りあります。
(iii) に入れるときは、に入ることはありません。
よって、球を箱に入れる確率は、
以上より、一般の整数n ()の場合について予測は正しく、求める確率は、 ......[]


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