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阪大理系数学'13年前期[3]

阪大理系数学'13年前期[3]

4個の実数
がすべて素数となるような正の整数nは存在しない。これを証明せよ。

解答 ぱっと見には方針が立ちませんが,素数を22以外に分けると、偶数か奇数か、ということになり、それなら、3の倍数かどうかと調べてゆくと、嫌でも解決してしまいます。なお、整数を参照してください。

だとすると、です。このとき、ですが、これは素数ではありません。
3以上の素数だとすると、は奇数でnは偶数です。
このとき、はいずれも奇数で、素数の可能性があり、偶奇を考えるだけでは題意を示すことができません。
そこで、
n3の倍数かどうかを考えてみます。
(i) nは偶数なのでkを偶数として、のとき、3の倍数で素数ではありません。
(ii) kを奇数として、のとき、
3の倍数ではなく、素数の可能性があります。
3の倍数なので素数ではありません。
(iii) kを偶数として、のとき、
3の倍数ではなく、素数の可能性がありますが、
3の倍数なので素数ではありません。
以上ですべての自然数nの場合を尽くしているので、がすべて素数となるような正の整数nは存在しません。(証明終)


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2013/08/14(水) 22:37:53|
  2. '13年数学
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