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センター数学IA '13年第2問

 センター数学IA '13年第2問 

座標平面上にある点Pは、点Aから出発して、直線上をx座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。また、同じ座標平面上にある点Qは、点PAを出発すると同時に原点Oから出発して、直線上をx座標が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発してからt秒後の2PQを考える。点POに達するのはのときである。以下、で考える。
(1) Px座標が等しいx軸上の点を,点Qx座標が等しいx軸上の点をとおく。の面積の和St で表せば
となる。これよりにおいては、Sは最小値をとる。
次に、
aを満たす定数とする。以下、におけるSの最小・最大について考える。
(i) Sで最小となるようなaの値の範囲は
である。
(ii) Sで最大となるようなaの値の範囲はである。
(2) 3OPQを通る2次関数のグラフが関数のグラフを平行移動したものになるのは、のときであり、x軸方向にy軸方向にだけ平行移動すればよい。
解答 動点を扱うところが珍しいですが、例年通りの2次方程式2次関数の問題です。

Pt 秒後のx座標は、
となるのは、のときです。

() 4 ......[]

(1) Py座標は、
の面積は、
Qt 秒後の座標は
の面積は、
() 7 () 1 () 6 () 3 () 2 ......[]
において、Sは、のとき、最小値をとります(2次関数の最大最小を参照)
() 8 () 7 () 1 () 6 () 0 () 7 ......[]
S
で最小になるのは、の範囲がを含むときで、となるとき、つまり、のときです。
() 1 () 7 () 8 () 7 ......[]
S
t の関数として表したグラフは放物線で、軸に関して対称なので、の範囲のちょうど中間にが来るとき、つまり、のときに、範囲の両端とでSの値が等しくなります。
従って、
Sが左端ので最大となるのは、のときです。
() 9 () 1 () 4 ......[]

(2) のグラフをx方向にpy方向にq平行移動したグラフの曲線を
とすると、
Oを通ることから、 ∴  ・・・①
Pを通ることから、 ・・・②
Qを通ることから、 ・・・③
①,③より、

より、 ・・・③
これと、①,②より、



③よりのときには、となり不適。よって、
このとき、

() 5 () 2 () - () 5 () 4 () - () 2 () 5 () 8 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2013/07/28(日) 00:12:58|
  2. センター数学'13年
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