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センター数学IA '13年第1問

 センター数学IA '13年第1問 

[1] とする。
このとき

であり、また

である。以上により

となる。

[2] 三角形に関する条件pqrを次のように定める。
p:三つの内角がすべて異なる。
q:直角三角形でない
rの内角は一つもない
条件pの否定をで表し、同様にはそれぞれ条件qrの否定を表すものとする。
(1) 命題「r ⇒ (p または q)」の対偶は「 」である。
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 
(p かつ q)    ( かつ )
 ( または q)   ( または )
(2) 次ののうち、命題「(p または q) r」に対する反例となっている三角形はである。
に当てはまるものを、のうちから一つずつ選べ。ただし、の解答の順序は問わない。
 直角二等辺三角形
 内角がの三角形
 正三角形
 三辺の長さが
345の三角形
 頂角がの二等辺三角形
(3) r(p または q)であるための
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 必要十分条件である
 必要条件であるが、十分条件ではない
 十分条件であるが、必要条件ではない
 必要条件でも十分条件でもない
解答 [1]分母の有理化と対称式、[2]は毎年恒例の条件・命題の問題です。

[1]
() 3 ......[]
() 2 () 4 ......[]
() 2 () 2 ......[]
より、
() 4 () 2 ......[]

[2](1) 命題「r ⇒ (p または q)」の対偶は、「(p または )でない rでない」
つまり、「( かつ )
() ......[]
(2) の内角がの三角形は、三つの内角がすべて異なり、また、直角三角形でもないので、「pまたはq」を満たしますが、の内角があるので、rを満たしません。
の頂角の二等辺三角形は、2つの底角がで直角三角形ではないので、「pまたはq」を満たしますが、の内角があるので、rを満たしません。
が「
(pまたはq) r」の反例です。は、いずれも、「pまたはq」を満たしません。
()  () ......[]
(3) 命題「(p または q) r」は、(2)のように、反例が存在するので偽です。
命題「r ⇒ (p または q)」の対偶は、(1)のように、「( かつ )
となりますが、「
かつ 」という条件は、三つの内角のうちに同じ角があって、かつ、という内角を含む、という条件になりますが、このときは、が成り立ちます。つまり、命題「r ⇒ (p または q)」は真です。
従って、
r(p または q)であるための十分条件ですが必要条件ではありません。
() ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2013/07/28(日) 00:10:57|
  2. センター数学'13年
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