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慶大理工数学'13年[1]

慶大理工数学'13[1]

座標平面上において、方程式で表される図形Cを考える。行列を用いると、この方程式は と表せる。
である
θ を用いて、と表される行列Pが、ある実数αβ ()に対し、を満たすとする。このとき、であり、である。とおくと、図形Cの方程式
となる。
図形
C上の2点間の距離の最大値はであり、この最大値を与える図形C上の2点の座標はである。

解答 2009[B1]でも出題されたベクトルの大きさを変えない1次変換(行列内を2個のベクトルと見るとき、この2個のベクトルが直交するので「直交変換」と言います)の問題です。ベクトルの大きさを変えない1次変換は、本問の「回転変換」と、2011[A1]でも出題された直線に関する対称移動(「鏡映変換」と言います)2通りあることが知られています。

 (行列の積を参照)

より、
 ・・・⑤
より、

 ・・・⑥
⑤+⑥より、 ・・・⑦
①+④より、 ・・・⑧
③-②より、 ・・・⑨
だとすると、⑧,⑨より、となってしまうので不適。
よって、,これと⑦より

 ∴
αβ は、2解で、より、
このとき、⑧,⑨より、より

()  () 2 () 4 ......[]
とおくと、 (逆行列を参照)で、
と、とから、

 (楕円を参照)
(
) 6 () 3 ......[]
注.のとき、より、
を、に代入して、

とすることもできます。
図形C上の2点間の距離の最大値は長軸の長さで、これを与える2点は長軸の両端、
これと、より、
()  ()  () ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2013/07/05(金) 02:20:03|
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