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京大理系数学'13年[5]

京大理系数学'13[5]

xy平面内で、y軸上の点Pを中心とする円C2つの曲線
, 
とそれぞれ点A,点Bで接しているとする。さらに△PABABy軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする。このとき3つの曲線Cで囲まれた部分の面積を求めよ。
ただし、
2つの曲線がある点で接するとは、その点を共有し、さらにその点において共通の接線をもつことである。

解答 円Cと、曲線,曲線とが接するとき、円の中心と接点を結ぶ半径は、曲線,曲線の法線になります。

とは
y軸に関して対称です。さらに円Cy軸に関して対称です。従って、接点ABy軸に関して対称です。として、Aの座標をとすると、Bの座標はとなります。△PABが正三角形であることから、円の中心Py座標cは、

について、定義域はであって、 
(微分の公式を参照)
(i) A上の点であるとき、 ()
Aにおける接線の傾きは
Aにおける法線の傾きが直線PAの傾きに一致することから、

より不適。
(ii) B上の点であるとき、 ()
Bにおける接線の傾きは
Bにおける法線の傾きが直線PBの傾きに一致することから、
より、
従って、点
A上の点です。
半径の円のから、14の正三角形の面積を引いた面積は、
線分ABx軸,2直線で囲まれた長方形の面積は、
x軸,直線で囲まれる部分の面積は、
求める面積(右図黄緑色着色部)は、
......[]


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  1. 2013/06/03(月) 01:10:02|
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