FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

早大理工数学'13年[2]

早大理工数学'13[2]

複素数と自然数について、複素数を実数を用いて
と表す。次の問いに答えよ。
(1) ()であることを示せ。
(2) すべてのnについてが成り立つ定数pqを求めよ。
(3) どんなnについても5の整数倍でないことを示せ。
(4) ()は実数でないことを示せ。

解答 連立漸化式の問題です。(3)では(2)が、(4)では(1)(3)が、ヒントになっていることに気づく必要があります

(1) のとき、より、
 ・・・①

()
() ・・・②
()
これを繰り返し用いて、
() ( )

(2) ②より、
 ・・・③
よって、 ......[]

(3) 背理法を用いて証明します。
①,②より、
③より、が整数ならも整数なので、帰納的にすべての自然数
nについて、は整数です(数学的帰納法を参照)。また、5の倍数ではありません。
のとき、,・・・,のすべてが
5の倍数でなく、5の倍数と仮定します。kを整数として、とおくことができます。
③より、
これより、
5の倍数となり、仮定と矛盾します。よって、5の倍数とした仮定は誤りで、5の倍数ではありません。
従って、すべての自然数
nについて、5の倍数ではありません。

(4) 背理法を用いて証明します。
は実数ではありません(複素数を参照)
も実数ではありません。
のとき、,・・・,のすべてが実数でなく、が実数、つまり、と仮定します。

(1)より、ですが、のとき、,つまり、となり、(3)の結果と矛盾します。よって、を実数とした仮定は誤りで、は実数ではありません。
従って、すべての自然数
nについて、は実数ではありません。


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元
スポンサーサイト



テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2013/02/27(水) 12:23:58|
  2. 早大理工数学'13年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<早大理工数学'13年[3] | ホーム | 早大理工数学'13年[1]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/1397-eaf6fc4e
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)