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東大理系数学'12年前期[4]検討

東大理系数学'12年前期[4]検討

[4](解答はこちら) この問題は、入り口が入り易いので、ほとんどの受験生が手をつけると思います。ですが、(2)は、意外と手がかりに乏しく悪戦苦闘を強いられます。いくらでも時間をかけて良いのであればおもしろい問題ですが、入試問題としては、危険な問題です。実戦的には、(1)ができたら(2)を早めに断念する方が賢明で、この問題で深入りして時間を使ってしまうと、[6]の面倒な行列計算に費やす時間がなくなってしまい、合格点を獲得することが難しくなります。
(1)は、連続する2個の自然数の積がn乗数になると仮定すると、連続2自然数は互いに素なので、連続2自然数がともに自然数のn乗と書かれることになります。ここで、n乗同志の差が1になることはあり得ないことに気づけば解答できるでしょう。
ですが、
(2)では同じようには行きません。連続3自然数になると、互いに素と言えなくなるので、とは限りません。
例えば、では、となり、あと
22がかけられれば、となります。連続3自然数の積の素因数2が、98100の素因数分解に分かれて出てくる場合があり得るので考えにくくなります。
nが素数であれば、連続n個の自然数の中には必ずnの倍数が含まれ、矛盾が導けそうですが、のような場合、
163167
のように、12個の整数の中に、2の倍数と3の倍数が複数個あるような場合が出てきて、が幾つかの整数の素因数分解の中の23をかけ合わせて出てくることがあり得るのでうまく行かないのです。
また、
n個の整数、k,・・・,の各々の素因数分解を考え、その中に、235などが幾つ含まれるかを考えて行くことも考えられます。
n個の整数、k,・・・,の中には、最大個の2の倍数があります。最大個の4の倍数があります。最大個の8の倍数があります。こうして行けば、の素因数分解中の2の個数を数えることはできますが、mを自然数として、これがちょうど乗になるのか、ならないのか、という議論をするのは困難です。
あるいは、解析的解法も考えられます。連続する
n個の自然数k,・・・,の積がn乗数だと仮定し、pを自然数として、
と表されれば、両辺の対数を考えて、
より、
 ・・・①
が成り立つはずです。
における接線:
を考えると、なので、接線は、曲線から上側にあります。
()として、であれば、
の中にはとなるものがあるので、で加え合わせると、

より、
ここで、であれば、「①と矛盾」とできるのですが、のときには、①が成立する可能性を排除できないので、行き詰まります。
というわけで、容易に思いつけるアイデアでは解決できません。解答のように思いつければよいのですが、そうでなければ断念もやむを得ないでしょう。



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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/11/18(日) 15:26:38|
  2. 東大数学12年
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