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横国大理工学部数学'12年[5]

横国大理工学部数学'12[5]

鋭角三角形ABCの大きさをそれぞれ、αβγで表す。点DEFはそれぞれ辺CAABBC上にあり、を満たす。次の問いに答えよ。
(1) ABCと△DEFは相似であることを示せ。
(2) を示せ。
(3) αが一定のとき、を最小にするようなβγαで表せ。

解答 (3)2変数関数のようで悩みますが、実は1変数関数です。

(1)
よって、2角が等しいので、△ABCと△DEFは相似です。

(2)  ・・・①
Eを通ってACに平行な直線とDFとの交点をGBCとの交点をHとします。
(同位角)
 ・・・②
HからACに垂線HIを下ろすと、
また、

 ・・・③
①,②,③より、

(3) は、αが一定であるとき、βγ2変数関数のように思えますが、という関係があるので、実は1変数関数です。
γを消去してβ1変数関数の形に表してもよいのですが、ここでは、βγ2文字のままやってみます。まず、(2)の結果をβで微分します。γは、βの関数であることに注意してください。
 ・・・④ (合成関数の微分法を参照)
の両辺をβで微分します。
 ∴
④に代入して、
とすると、のとき、となるので不適です。
のとき、より、
さて、より、です。

βが、の範囲を動くとき、
のときには、より
のときには、より
従って、
yは、において減少、において増加します(関数の増減を参照)
を最小にするような
βγは、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/11/15(木) 13:10:00|
  2. 12年数学
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