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名大理系数学'12年[2]

名大理系数学'12[2]

として、正の整数nに対して、
により実数xの関数を定める。
(1) を求めよ。
(2) とするとき、定積分を求めよ。ただし、実数abcは定数とする。
(3) 正の整数nに対して、を求めよ。

解答 面倒な積分計算を強いられそうなのですが、工夫すれば、それほどでもなくなる、という問題です。

(1)
 (積の微分法を参照)
 (部分積分法を参照)

 ・・・①
......[]

(2)
 ( )

 ・・・②
 ( ②,また、とおいて置換積分)
 ( )
......[]

別解.より、は奇関数です。
よって、

(3) 問題文の漸化式を用いて最初の方を計算してみます。


 ( ①,また、とおいて置換積分)
 ( )

は、で、としたものです。
は、で、としたものです。
これで、
1次関数ととの積で表され、1次関数の定数項と1次の係数はnに依存して変化する、つまり、と予測できます。
のとき、より、として、予測は成り立ちます。
のとき、予測が成り立つとして、となります。


 (定積分と微分を参照)



(2)より、第1項の積分はゼロです。

これより、とすれば、
よって、予測はのときも成り立ちます。
数学的帰納法により、 ・・・③
より、数列は、初項,公比
3等比数列で、
より、
で両辺を割って、
数列は、初項,公差等差数列で、

③より、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/11/12(月) 09:35:22|
  2. 12年数学
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