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慶大理工数学'12年[4]

慶大理工数学'12[4]

ABCDE1辺の長さが1の正方形ABCDを底面とし、4個の正三角形を側面とする正四角錐とする。
(1) CDEの重心をGとする。ベクトルで表すと、 セ となる。
(2) でないベクトルが平面α上の任意のベクトルと垂直なとき、は平面αと垂直であるという。 (abcは実数)が△CDEを含む平面と垂直なとき、abc  ソ である。よって、かつとなるようにabcを定めると、 タ となる。
(3) 正四角錐ABCDEの△CDEに、各辺の長さが1の正四面体CDEFを貼り付ける。ベクトルで表すと、 チ となる。また、Hを辺ECの中点とすると、 ツ であり、△AHFの面積は テ である。

解答 (3)は、まともでは大変なので、工夫が必要です。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1)()
より、
......[]

(2)()
CDEを含む平面上の2つのベクトルと垂直です。より、
 ・・・①

 ・・・②
①より、,②に代入して、

よって、
abc 1 12 ......[]
() として、

よって、
......[]

(3)() も△CDEと垂直なので、は平行です。従って、
CDの中点をMとして、正三角形CDEの高さは、

より、
のなす角は鋭角なので、となるのであれば、で、です。
よって、

......[]
これとより、四角形ADFEはひし形です。また、は正三角形CDEの高さの2倍で、
() ()の結果を用いて、


......[]

AHFの面積Sは、より、
......[](三角形の面積を参照)


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