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慶大理工数学'12年[3]

慶大理工数学'12[3]

袋の中に文字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつと、文字が書かれたカードが何枚か入っている。いま、袋の中から1枚ずつカードを取り出し、のすべての文字のカードがそれぞれ1枚以上出たところで終了する。ただし、一度取り出したカードは袋の中には戻さないものとする。
(1) 袋の中に文字が書かれたカードが7枚あり、合計10枚のカードが入っている場合を考える。3枚目に文字のカードを取り出す確率は ク であり、1枚目または3枚目に文字のカードを取り出す確率は ケ である。また、最後に取り出したカードに書かれている文字がである確率は コ である。
(2) 袋の中に文字が書かれたカードがn ()あり、合計枚のカードが入っている場合を考える。k枚目で終了する確率をとすると、 サ であり、に対しては シ である。いま、終了した時点で袋の中に残っているカードの枚数の期待値をとすると、 ス が成り立つ。

解答 余事象をうまく利用して解答しましょう。

(1) 1枚目でも、2枚目でも、3枚目でも、何枚目でも、10枚のカードから文字のカード7枚のうち1枚を取り出す確率はです。
() ......[]
1
枚目または3枚目に文字のカードを引く事象の余事象は、1枚目にも3枚目にも文字が書かれたカードのどれかを引く事象です。
1枚目に文字が書かれたカードのどれかを引く確率は,その後、3枚目に文字が書かれたカードのどれかを引く確率は
求める確率は、

() ......[]
最後に取り出したカードに書かれている文字がである確率と、である確率と、である確率は等しく、最後に取り出したカードに書かれている文字がまたはまたはである事象の余事象は、最後に取り出したカードに書かれている文字がである事象です。
取り出すカード
10枚を1列に並べ左端から順に取り出すとして考えると、最後に取り出したカードに書かれている文字がになるのは、左端から順にまたはまたは3枚が並んでいる場合です。こうなる確率は、10枚の中からまたはまたは3枚を入れる位置を選ぶのが通りあるので、
求める確率は、

() ......[]

(2) 取り出す枚のカードを1列に並べて左端から順に取り出すとして考えると、4枚目に終了するのは、左端から4枚の中にのすべての文字のカードが1枚ずつ含まれる場合です。枚の中からまたはまたは3枚を入れる位置を選ぶのが通りあり、このうち左端から4枚の中に3枚がすべて含まれるのは、の位置が4通りあるので、4枚目に終了する確率は、
() ......[]
に対して、k枚目に終了するのは、左端からk枚目がのどれかで、左から枚の中にのうち2枚が含まれる場合です。
左から枚の中にのうち
2枚を入れる位置の選び方が通り、残る1枚の入れる位置は1通りなので、求める確率は、
() ......[]
k
枚目で終了するとき、袋の中に残っているカードの枚数は、枚です。残っているカードの枚数の期待値は、


のとき、
() ......[]


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  1. 2012/07/20(金) 15:03:12|
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