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慶大理工数学'12年[2]

慶大理工数学'12[2]

と外接し、x軸と接する円で中心のx座標が正であるものを条件Pを満たす円ということにする。
(1) 条件Pを満たす円の中心は、曲線 ()の上にある。また、条件Pを満たす半径9の円をとし、その中心のx座標をとすると、である。
(2) 条件Pを満たし円に外接する円をとする。また、に対し、条件Pを満たし、円に外接し、かつ円と異なる円をとする。円の中心のx座標をとするとき、自然数nに対しを用いて表しなさい。求める過程も書きなさい。
(3) (1)(2)で定めた数列の一般項を求めなさい。求める過程も書きなさい。

解答 類題が'92[A2]でも出題されています。ヒントを活かすことにより、容易に解答できます。

(1) 条件Pを満たす円の中心Dの座標を (),点ADからx軸に垂線DHを下ろし、AからDHに垂線ABを下ろします。条件Pを満たす円はx軸に接するので、その半径はqです。
三平方の定理より、


よって、条件Pを満たす円の中心は、曲線 ()の上にあります(放物線を参照)
() ......[]
条件Pを満たす円の中心のy座標が円の半径なので、より、
よって、半径
9の円の中心のx座標は、
() 6 ......[]

(2) n2以上の整数として、の中心x座標は () ()です。題意よりです。条件Pを満たす円の中心は、曲線 ()の上にあるので、の半径はです。からx軸に垂線を下ろし、からに垂線を下ろします。
三平方の定理より、


より、
よって、nを自然数として、
......[]

(3) (2)の漸化式の逆数を考えると(漸化式の技巧を参照)
は、初項,公差等差数列です。
......[]


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  1. 2012/07/09(月) 11:08:32|
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