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東大物理'12年前期[1]

東大物理'12年前期[1]

高低差がhの水平面Hと水平面Lの間になめらかな斜面があり、東西方向の断面は図1-1のようになっている。水平面Lの東端には南北にのびる鉛直な壁がある。ここで小球の衝突実験を行った。すべての小球は面から離れることなく進み、互いに弾性衝突するものとし、小球と壁も弾性衝突するものとする。重力加速度の大きさをgとし、小球の大きさや回転、摩擦や空気抵抗は無視して以下の設問に答えよ。

Ⅰ 図
1-1のように、水平面Hで質量mの小球Aを東向きに速さvで滑らせ、質量Mの小球Bを西向きに速さvで滑らせて衝突させたところ、衝突後に小球Aは西向きに進み、小球Bは静止した。
(1) 衝突後の小球Aの速さを求めよ。
(2) 質量の比を求めよ。

Ⅱ 図
1-2のように、水平面Hで前問の小球Aと小球Bを東向きに同じ速さで滑らせたところ、小球Bは壁で跳ね返り、水平面Lからの高さがxの斜面上の点で小球Aと衝突した。その後、小球Aは斜面を上がって水平面H上の最初の位置を速さで西向きに通過し、一方、小球Bは壁と斜面の間を往復運動した。
(1) 2つの小球が衝突する直前の小球Aの速さを,小球Bの速さをとする。速さの比を求めよ。
(2) xhgを用いて表せ。
Ⅲ 前問の小球Bが、水平面Lから高さの地点と壁との間を東西方向に往復運動しているとき、図1-3のように小球Bをねらって質量の小球Cを水平面H上の点から発射した。水平面L上で小球Cはうまく小球Bに命中し、その後小球Bが壁で跳ね返ってから、小球Cと小球Bが両方とも水平面Hまで上がってきた。2つの小球は同じ速さで距離をに保ったまま水平面H上を同じ向きに進んだ。その方向は西から北に向けての角度をαとするとであった。
(1) 壁で跳ね返ったあとの小球Bの水平面Lでの運動の無機は、西から北に向けて角度β であった。を求めよ。
(2) 小球Bと小球Cが衝突した地点の壁からの距離dを求めよ。
(3) 水平面H上で発射したときの小球Cの速さVを求めよ。
(4) 小球Cを発射した方向を東から北に向けて角度θ とする。を求めよ。

解答 複雑で重量級の問題に見えるので、試験会場ではパニックになりそうです。Ⅲでは、小球Bと小球Cの衝突は斜衝突なので、東西方向、南北方向に分けて、衝突前後の運動量保存を考えようとすると失敗します。

(1) 衝突後の小球A速さuとします。西向きを正として、東西方向について運動量保存の式を立てると、
 ・・・①
反発係数の式 ∴ ......[]

(2) を①に代入して、 ∴ ......[]

(1) 衝突直前のAB速さとします。水平面H上と衝突直前とで力学的エネルギー保存より、
A
B
 ・・・②
......[]

(2) 衝突直後のAB速さとします。上る方向を正として、斜面に沿う方向について運動量保存の式を立てると、
 ・・・③
反発係数の式 ∴
③に代入して、

(2)の結果とⅡ(1)の結果を用いて、
・・・④
衝突直後と水平面H上との小球A力学的エネルギー保存より、
②,④より、


 ∴ ......[]

(1) 小球Cとの衝突後、水平面Lにおける小球B速さとします。小球Cとの衝突後、壁に衝突した後と水平面H上との、小球B力学的エネルギー保存より、
 ∴
斜面を上る際に小球Bは斜面に垂直な方向、即ち東西方向にのみ力積を受けるので、小球B速度の南北方向成分は、水平面L上、水平面H上で変化しません。つまり、小球B速度の南北方向成分は、水平面L上においても、
よって、
......[]

(2) (1)と同様に、小球Cについても、斜面を上る際に、東西方向にのみ力積を受けるので、速度の南北成分は変化しません。小球Bも小球Cもともに、水平面L上、水平面H上で、速度の南北方向成分が変化しないので、両者の経路の南北方向の距離も、変化しません。
水平面H上では、両経路の南北方向の距離はです。
水平面
L上では、小球Cの経路も西から北に向けて角度β なので、両経路の南北方向の距離はです。よって、
......[]

(3) 小球Bが小球Aと衝突した直後と、小球Bと小球Cが水平面H上で等速度運動するときとの、小球Bと小球C力学的エネルギー保存より、
......[]

(4) (1)(2)と同様に、小球B,小球Cは、東西方向にのみ力積を受け、南北方向には力積を受けないので、小球Bと小球Cについて、運動量の南北方向成分は保存されます。
小球C初速度の南北方向成分はなので、運動量保存より、
(3)の結果を代入して、
......[]


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