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京大理系数学'12年[6]

京大理系数学'12[6]

さいころをn回投げて出た目を順に,・・・,とする。さらに、
()
によって,・・・,を定める。
となる確率を求めよ。

解答 問題文を見てギョッとしますが、問題文の不等式が成り立つ事象の余事象を考え、それを2つの場合に分けて考えると、問題のカラクリが見えてきます。

() ・・・()
 ・・・(**)
のとき、となるのは、より、なので、のときだけです。
従って、 ・・・①
ここで
()を使ってのときの状況からのときの状況を考えることになります。
(**)とした不等式と、とした不等式を考え、の範囲との範囲を調べることになります。そこで、の範囲について、手がかりを得ておくことにします。
はさいころの目なので
1から6のいずれかです。()より、はさいころの目よりも僅かに大きな数で、となりそうです。
nが自然数のとき、であることが予想し、これを数学的帰納法で示しておくことにします。
のとき、です。
のとき、と仮定すると、より、です。
従って、数学的帰納法により、自然数nに対して、 ・・・② です。

のとき、より、が条件
()を満たすことはありません。つまり、を満たすのは、のときか、のときだけです。
さいころを
n回投げた状況から、回投げた状況を考えます。
n回投げたとき、(**)が満たされているときと、満たされていないときに分けて調べます。
(1) さいころをn回投げたとき、(**)が満たされていたとします。こうなる確率です。このとき、
ですが、なので、
 ・・・③
(確率)のとき、③は、
となり、条件(**)は必ず満たされます。 ・・・④
(確率)のとき、③は、
となり、条件(**)は必ず満たされます。 ・・・⑤
(2) さいころをn回投げたとき、(**)が満たされていないとします。こうなる確率はです。このとき、
または
ですが、の範囲が2つに分かれているので、別々に考えます。
(i) のとき、②を考慮して、,よって、
 ・・・⑥
(確率)のとき、⑥は、
となり、より、条件(**)は必ず満たされます。 ・・・⑦
(確率)のとき、⑥は、
となり、条件(**)は満たされません。
(ii) のとき、②を考慮して、,よって、
 ・・・⑧
(確率)のとき、⑧は、
となり、条件(**)は満たされません。
(確率)のとき、⑧は、
となり、条件(**)は必ず満たされます。 ・・・⑨
上記で④,⑤が起こる確率は,⑦が起こる確率は、となる確率をとしてです。⑨が起こる確率は、となる確率をとしてです。
上記の検討より、さいころを回投げたとき、となる場合は、④,⑤,⑦,⑨のいずれかに限られます。従って、その
確率は、
 ・・・⑩
となります。ここで、確率は、またはとなる事象の確率ですが、この事象はとなる事象の余事象です。よって、
これより、⑩は、
 ・・・⑪
として、
 ・・・⑫ ∴
⑪-⑫より、
数列は、①より、初項:,公比:の等比数列です。
よって、
......[]


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