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京大理系数学'12年[4]

京大理系数学'12[4]

(1) が無理数であることを証明せよ。
(2) は有理数を係数とするxの多項式で、を満たしているとする。このときで割り切れることを証明せよ。

解答 (1)(2)とも背理法を使って証明します。なお、整数を参照してください。

(1) mnを互いに素な自然数として、とおけると仮定します。
3乗して分母を払うと、
これより、
n2の倍数で、kを自然数として、とおけます。よって、
 ∴
これより、m2の倍数となりますが、mnがともに2の倍数となり、互いに素であることと矛盾します。よって、仮定は誤りで、は無理数です。 (証明終)

(2) とおくと、
で割ったときの商を,余りをとおきます。は有理数を係数とするxの多項式なので、も有理数を係数とする多項式であり、abcは有理数です。
とすると、
 (因数定理を参照)
αをかけて、
より、
 ・・・①
 ・・・②
①×b-②×aより、
 ・・・③
と仮定すると、
この右辺は有理数なので、αが有理数となって、矛盾が生じます。よって、③より、

だとすると、となり、が有理数となって矛盾します。よって、,従って①も考慮して、です。よって、で割った余りは
0で、で割り切れます。 (証明終)


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