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東工大数学'12年前期[3]

東工大数学'12前期[3]

3次関数のグラフをC,直線lとする。
(1) Clが原点以外の共有点をもつような実数aの範囲を求めよ。
(2) a(1)で求めた範囲内にあるとき、Clによって囲まれる部分の面積をとする。が最小となるaの値を求めよ。

解答 解と係数の関係を利用するとしても、aの関数とするのでは複雑になるので、かなり面倒です。

C ・・・①
l ・・・②

(1) ①,②を連立して、

 ・・・③
原点以外の共有点をもつとき、この方程式は、以外の解をもちます。つまり、2次方程式
 ・・・④
が、を重解とすることがない、または、相異なる2実数解をもちます。
を解にもつとき、よりですが、このとき、
より、も解になるので、Clは原点以外の共有点をもちます。のとき、3次方程式③は、を重解にもつので、Clは、で接し、で交わります。 ・・・⑤
2次方程式④が相異なる実数解をもつとき、
判別式: (2次関数の一般論を参照)

以上より、Clが原点以外の共有点をもつような実数aの範囲は、 ......[]
のとき、④は、重解をもちます。 ・・・⑥

(2) のとき、2次方程式④の2実数解をαβ として、解と係数の関係より、

 ・・・⑦
2次方程式④は、(i) のとき、より、④は正負2解をもちます。 (ii) のとき、よりと合わせて、④は正の解2解をもちます。
(i) のとき、④の正の解をβ として、においてlCの上に来るので、Clによって囲まれる部分の面積は、
ここで、β aを用いて表せればよいのですが、⑦を用いると根号を含む複雑な式になってしまいます。
より
(⑤に注意)なので、は、β 増加関数で、また、β aの増加関数です。そこで、⑦を用いて、β の関数と考えることにします。
とおくと、
より、β の増加関数です。においては、
 ・・・⑧
(ii) のとき、④の正の解2解をαβ ()とします。⑦が成り立ちます。
このとき、は、において正でClの上にあり、において負でlCの上にあるので、




とおきます。
(i)と同様に、④でとして(⑥に注意)より、 (で重解の場合は、)なので、β の関数として考えます。この場合も、は、β の増加関数で、β aの増加関数です。また、のとき、です。


とすると、
より、増減表は、



3
00




のとき、最小です。
と⑧とから、は、のとき最小で、このとき、より、⑦を用いて、
が最小となるaは、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/03/16(金) 22:35:46|
  2. 東工大数学'12年
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