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東大理系数学'12年前期[6]

東大理系数学'12年前期[6]

行列に対して
と定める。
abcを満たす実数とする。行列ABCDを次で定める。
また実数xに対しとする。
このとき以下の問いに答えよ。

(1) 各実数tに対して、xの関数
の最大値を求めよ。(ただし、最大値をとるxを求める必要はない。)
(2) すべての実数tに対し
が成り立つことを示せ。

解答 は対角和と呼ばれ、行列Pの対角成分の和になります。2次正方行列では、成分と成分の和になります。
本問は、途中の計算がかなり面倒で、冷静かつ正確な計算力が要求されます。


(1)  (行列の積を参照)
 ・・・①


①において、とすることにより、
 (2倍角の公式を参照)
これの成分は、
成分は、
よって、

 (加法定理を参照)
なので、
のとき、は、のときに最大値:をとります。
のとき、なのでです。
のとき、は、のときに最大値:をとります。
以上より、
3通りの場合をまとめて、
......[]

(2) ①で、とすることにより、

これの成分は、
成分は、
よって、


以上より、
 ・・・②
 ・・・③
この左辺は、 ()とおくと、

より、
より,また、
とおくと、より、において、
従って、において、
よって、③が成り立つので②が成り立ちます。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/03/12(月) 01:30:06|
  2. 東大数学12年
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