FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

東大理系数学'12年前期[5]

東大理系数学'12年前期[5]

行列が次の条件(D)を満たすとする。
(D) Aの成分abcdは整数である。また、平面上の4は、面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす。
とおく。次の問いに答えよ。
(1) 行列も条件(D)を満たすことを示せ。
(2) ならば、ABのどちらかを左から次々にかけることにより、4個の行列のどれかにできることを示せ。
(3) とする。の少なくともどちらか一方は、それをとすると、
を満たすことを示せ。

解答 行列が逆行列をもつ(行列式がゼロでない)とき、行列内をベクトル列(あるいは、ベクトル行)の集まりと見なすとき、それらは1次独立です。背景のありそうな問題ですが、解答は容易です。

(1) Aが条件(D)を満たすことから、 (三角形の面積を参照)
 ・・・①
stを実数として、
とします。と仮定すると、


このとき、
となり、①と矛盾が生じます。よって、となり、1次独立で、4は平行四辺形の4つの頂点となります。平行四辺形の面積は、
となり、条件(D)を満たします。
stを実数として
とします。と仮定すると、

このとき、
となり、①と矛盾が生じます。よって、となり、1次独立で、4は平行四辺形の4つの頂点となります。平行四辺形の面積は、
となり、条件(D)を満たしています。

(2) まず、を求めておきます。

より、と予測できます。
よって、帰納的に、 (数学的帰納法を参照)

より、と予測できます。
よって、帰納的に、
のとき、

adは整数なので、であって、に限られます。
であれば,また、であれば,とすると、となります。
よって、のどれかにできます。
同様に、であれば,また、であれば,とすると、となり、
のどれかにできます。

(3)
acが異符号であれば、より、
よって、

acが同符号であれば、より、
よって、
の少なくともどちらか一方は、それをとすると、
を満たします。


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/03/11(日) 10:30:40|
  2. 東大数学12年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<東大理系数学'12年前期[6] | ホーム | 東大理系数学'12年前期[4]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/1359-43ada9c3
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。