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東大理系数学'12年前期[1]

東大理系数学'12年前期[1]

次の連立不等式で定まる座標平面上の領域Dを考える。
直線は原点を通り、Dとの共通部分が線分となるものとする。その線分の長さLの最大値を求めよ。また、Lが最大値をとるとき、x軸とのなす角θ ()の余弦を求めよ。

解答 x軸とのなす角θ ()を考えよ、というヒントがついているので、あとは計算あるのみです。

まず、領域D (右図黄緑色着色部)の境界線について、円Cと直線との交点を求めると、

とおくと、直線方程式です。
ここで、より、 ・・・①
これと円
Cとの交点Px座標は、


原点
Oではない交点のx座標は、
 (三角関数を参照)
より、
注.右図からも、より、
より、

 (微分法の公式を参照)
とすると、
なので、


このとき、

なので、より、を、を満たす角として、①よりにおける増減表は以下の通り
(関数の増減を参照)
θ

0
L


よって、Lは、のとき、最大値: ......[]


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