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早大理工数学'12年[5]

早大理工数学'12[5]

xy平面上に2ABをとる。をみたす平面上の点Pの全体と点ABからなる図形をFとする。次の問いに答えよ。
(1) Fを図示せよ。
(2) Fx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。

解答 (1)の結果は見えているので、論証することがテーマです。

(1) のとき、点Pの全体は線分ABです。
として、のとき、円周角の定理より、点Pの全体は円の一部です。円をCとします。まず、点Pの部分にある場合を考えます。
この円の半径を
r,円の中心をDとすると、対称性からDy軸上の点(のときにはの部分にあり、のときには原点Oのときにはの部分にあります)です。
右図より、
Dy座標は (正負はの正負と一致します)
Cの方程式は、
 (円の方程式を参照)
Cは、2ABを通るので、のとき、当然、です。のとき、
()の場合を除いて、の場合も含めてより、
以上より、のとき、 ∴
,点Pの全体は、を中心とする半径の円から内側です。
Pの部分にある場合、上記で、円Cの半径はのままですが、中心のy座標がとなり、円Cの方程式は、

のとき、より、 ∴ ,点Pの全体は、を中心とする半径の円から内側です。
以上より、
Fを図示する(不等式の表す領域を参照)と右図黄緑色着色部(境界線を含む)
注.結論は見えているので、上記でのときの円だけを考え、のときの点Pはその円の内側に来ることを示す、という方針も考えられます。

(2) Fx軸に関して対称な図形です。Fx軸のまわりに1回転して得られる立体は、Fの境界線x軸のまわりに1回転して得られる立体で、yについて解くと、
となることから、求める体積Vは、の部分をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積から、の部分をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を除いて2倍したものです(x軸のまわりの回転体を参照)

 (置換積分2を参照)

......[
]

(1)の別解.をみたすxy平面上の点Pの座標をとします。
余弦定理より、
 ( )
これより、



ここで、
を、素直に展開してしまうと、

 ・・・①
ここで行き詰まってしまいます。
結論は見えているので、結論の方から考えます。点
PFの境界線となりそうなのとき、円周角の定理から、点Pの全体は円の一部となります。この円は、2ABを通るので、その半径は,中心は、点Px軸から上にあるときには,点Px軸から下にあるときにはで、円の方程式は、

となり、①の左辺を因数分解すると、
という形が出てくることが予想できます。これを展開してみると、


となって、①の左辺に一致します。
従って、①より、
よって、
かつ
または、
かつ
これより、図形Fは、
(から内側)
または
かつ (から内側、かつ、円から外側)
または、
かつ (から外側、かつ、円から内側)
となります。


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  1. 2012/02/22(水) 02:22:55|
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