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早大理工数学'12年[3]

早大理工数学'12[3]

表が出る確率がa (),裏が出る確率がのコインを1枚投げる試行をn回行う。ただしとする。このn回の試行の結果、表が2回以上出る事象をで表す。また1回目からn回目の試行が終わるまでに、「裏→表」の順で出ない事象をで表す。次の問いに答えよ。
(1) 確率を求めよ。
(2) 確率を求めよ。
(3) 極限
を求めよ。ただし、をみたすrに対して、となることを証明なしに用いてよい。

解答 極限をとるあたりがややこしいのですが、等比数列の極限の基本に従って丁寧に解答しましょう。

(1) 事象余事象は、n回の試行の結果、表が1回も出ない(裏ばかりn回、確率)か、あるいは、表が1回だけ出てかつ裏が回出る(確率)事象です。その確率は、
......[]
事象は、表が1回も出ない、か、または、表が1回目からk回目()まで連続して出た後、裏が回目からn回目まで連続して出る、か、または、表ばかりn回連続して出る事象で、その確率は、
 (等比数列を参照)

......[]

(2) 事象は、事象から、表が1回も出ない(確率)事象と、1回目に表が出て2回目からn回目まで裏が連続して出る(確率)事象を除いた事象で、
より、その確率は、


......[]

(3)
 (で分母・分子を割る)
より,よって、のとき、
また、 
(等比数列の極限を参照),題意より、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/02/20(月) 01:58:30|
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