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センター数学IIB '12年第4問

 センター数学IIB '12年第4問 

空間に異なる4OABCとなるようにとり、とおく。さらに、3DEFを、となるようにとり、線分BDの中点をL,線分CEの中点をMとし、線分AD31に内分する点をNとする。

(1) を用いて
と表される。

(2) 2直線FLMNが交わることを確かめよう。とし、線分FLsに内分する点をPとする。は、sを用いて
と表される。のとき、となるので、MNPは一直線上にある。よって、2直線FLMNは交わることがわかる。

(3) 2直線FLMNの交点をGとする。は、を用いて

と表される。
とする。このとき、となる。
次に、直線
OC上に点Hをとり、実数t を用いて、と表す。は、t を用いて
 ・・・①
 ・・・②
と表される。
さらに、とする。このときの
t の値を求めよう。であることから
 ・・・③
が成り立つ。①,②,③から、である。

解答 よく前後を見渡していないと何をやっているのかわからなくなりそうな空間ベクトルの問題ですが、難解なわけではありません。計算するだけなので、落ち着いて解答しましょう。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1)
() 2 () 3 () 4 ......[]

(2)

 ・・・④
() 1 () 2 () 1 ......[]


MNPが一直線上にあるとき、より、
の係数が等しいから、

のとき、となります。
() 2 () 3 () 2 () 3 ......[]

(3) (2)の点Pが点Gです。④でとして、
() 1 () 3 () 2 () 2 ......[]

 ・・・⑤
() 2 ......[]
より、

 ・・・⑥
() 3 ......[]
 (⑤を用いた)
 (⑥を用いた)

 ・・・①
() 2 () 1 () 6 () 3 ......[]
 ・・・②
⑥,を用いると、として、
 ・・・③
() 3 () 2 ......[]
①,②,③より、

(
) 1 () 3 ......[]


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  1. 2012/02/08(水) 14:53:38|
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