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センター数学IIB '12年第2問

 センター数学IIB '12年第2問 

座標平面上で曲線Cとし、放物線Dとする。

(1) 曲線C上の点PにおけるCの接線の方程式は
である。放物線Dは点Pを通り、DPにおける接線と、CPにおける接線が一致するとする。このとき、pqaを用いて表すと
 ・・・①
となる。
以下、
pqは①を満たすとする。

(2) 放物線Dy軸上の与えられた点Qを通るとき
 ・・・②
が成り立つ。与えられたbに対して、②を満たすaの値の個数を調べよう。
そのために、関数
の増減を調べる。関数は、で極小値をとり、で極大値をとる。
関数のグラフをかくことにより、のとき、②を満たす
aの値の個数はであることがわかる。

(3) 放物線Dの頂点がx軸上にあるのは、の二つの場合である。のときの放物線をのときの放物線をとする。x軸で囲まれた図形の面積はである。

解答 最後の面積のところの答え方に驚かされますが、数学Ⅱの微積分の基本問題です。

C ・・・③
D ・・・④

(1) ③を微分して、
Pにおける接線は、

() 2 () 2 () 3 ......[]
④を微分して、
DPにおける接線と、CPにおける接線が等しいとき、両者のにおけるy座標と接線の傾きが等しく、
 ・・・⑤
これより、
⑤に代入して、

(
) 2 () 2 () - () 2 () 2 ......[]

(2) 放物線Dは、
 ・・・⑥ (2次関数を参照)
Qを通るので、
 ・・・②
() - () 2 () 2 ......[]


x
0

00
00

増減表より、で極大値:0で極小値: (3次関数の増減を参照)
(
) 0 () 0 () 1 () 3 () 1 () 2 () 7 ......[]
のとき、②を満たすaの値の個数は3
() 3 ......[]

(3)⑥より、
放物線Dの頂点がx軸上にあるとき、

(
) 0 () 4 () 9 ......[]
のとき、
放物線
のとき、
より、放物線x軸正方向に、だけ平行移動した放物線で、
x軸で囲まれた図形の面積Sは、放物線が軸に関して対称なことから、
() 4 () 1 () 0 ......[]


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  1. 2012/02/06(月) 12:02:37|
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